正定矩阵与半正定矩阵

作者：cwaar
链接：https://www.zhihu.com/question/22098422/answer/35874276
来源：知乎

首先半正定矩阵定义为:

$X^TMX \geq 0$

其中 X 是向量，M 是变换矩阵。

我们换一个思路看这个问题，矩阵变换中， $MX$ 代表对向量 X 进行变换，我们假设变换后的向量为 Y，记做 $Y=MX$ 。于是半正定矩阵可以写成：

$X^TY \geq 0$

这个是不是很熟悉呢？他是两个向量的内积(xT、Y 均是向量，且维度一样，所以乘积就是两者的内积)。同时我们也有公式：

$cos(\theta) = \frac{X^TY}{||X||* ||Y||}$

||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度， $\theta$ 是他们之间的夹角。于是半正定矩阵意味着 $cos(\theta)\geq 0$ , 这下明白了么？

正定、半正定矩阵 M 就是代表：一个向量 (a) 经过它 (M) 变化后的向量(b), 与其本身 (a) 的夹角小于等于90度。(a b 间的夹角<= 90度)

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