浅谈CAPM和因子模型

在讲因子模型之前，我们需要先了解一下CAPM模型。

CAPM模型是从均值-方差效用理论导出的一个均衡模型，其假定人们都是理性的，都具有一样的均值-方差偏好形式，即都喜欢高收益低方差，且homogeneous。那么就可以得到，资产的收益满足如下的关系：

$E(r_{i})-r_{f}=\beta _{i}\cdot (E(r_{M})-r_{f})$

该结论说明，在理论假设下，均衡状态中，由于无风险收益对于不同的资产来说都是一样的，所以资产的期望收益只和市场收益以及其beta系数相关，这个beta系数指的就是我们通常所说的系统性风险。同样的，市场的期望收益对于不同资产来说也是一样的，所以实际上影响不同资产的期望收益的就只有其各自的beta系数，也就是说，一个资产只有其系统性风险才被定价了，不同资产的期望收益不一样是因为其系统性风险不同。

要注意的是，CAPM只是一个均衡模型，其意义为，在均衡状态下，资产期望收益率和市场期望收益之间应该满足的一个关系，市场收益和资产收益之间并不存在时间上的因果关系。实际上，上面的CAPM公式中，资产期望收益和市场期望收益都省略了一个下标t，故该模型实际上表示的是资产和市场同期收益的一个关系，统计上，其是一个截面分解或者静态分解模型，而对于静态分解模型，其是不具有直接的时间因果意义上的预测作用的，这是我们需要明白的基本的一点。此外，我们还可以从方差分析的角度来看这个关系，实际上beta系数乘以资产在市场组合里面的比例值，就是资产对整个市场组合方差的贡献度，由风险和超额收益的正比关系，便可以得到这样的关系式。

在实证研究中，CAPM模型往往无法很好的解释实证结果。比如，实证结果中，资产超额收益在市场超额收益上跑时序回归之后，往往截距项并不显著为0，还有资产超额收益在市场超额收益跑截面回归后得到的市场因子风险溢价也往往和实际的相差比较大，而这些都是CAPM模型理论无法解释的。对于实证结果和CAPM之间的矛盾，往往可以从两个方面去解释：一是CAPM模型本身的理论假设问题，比如均值-方差效用理论的问题，现实中投资者可能并不仅仅只以此衡量其效用，比如还有资产的流动性等因素；二是市场代理量的问题，在CAPM中，市场收益表示的是所有可投资资产的总体，但是实证研究中或者真实的投资世界里，我们往往用二级股票市场作为替代，并且还常常只用部分的二级市场股票作为替代，这样一个proxy可能并不能很好的代表CAPM中的市场因素，会遗漏其他非二级市场股票资产，从而也会出现截距项非零以及市场风险溢价偏离的结果。所以，CAPM虽然具有很强的理论意义，但是其对于投资而言，现实意义已经逐渐的变小了，尽管中性市场的alpha策略的思想就是源于CAPM模型，但实际上，现实投资里，不会有人再单纯的用CAPM来指导投资了。

CAPM虽然具有很强的理论意义，但由于其对投资现实意义的局限性，因子模型便由于其可扩展性和较好的现实指导意义而获得业界的青睐。因子定价模型认为，资产的价格或者收益是受一些共同的因素所影响的，并且假设资产收益和因子之间满足一个线性模型，如下所示：

$r_{i}=\alpha _{i}+\sum_{k}^{m}\beta _{k}\cdot f_{k}+\varepsilon _{i}$

其中alpha表示截距项，f表示影响资产收益的因子，beta为因子系数，其意义为因子风险暴露，epsilon表示随机项。因子定价模型的好处在于其模型中，因子个数不是固定的，即相比于CAPM，其不仅仅包含市场因子，还可以有其他的因子，这就给解释资产收益提供了更大的可能性，而且，对于因子的选择和构造也是不定的，这使得因子定价模型具有强大的可扩展性和可能性。更准确地说，因子定价模型提供给我们的实际上是一种去认识和解释资产收益的思想和方式，其具体的模型形式可能相对并不是那么的重要。但同时，因子定价模型的优势恰恰也是其缺陷所在，虽然因子定价模型具有强大的可扩展性，正因此，因子定价模型并没有告诉我们哪些因子才是正确的合理的定价因子，而且，因子对于资产收益的可解释性相比于CAPM是更弱的，其没有一种严格的通用的解释范式，往往一个有效的定价因子对于资产收益的解释具有较强的主观性，需要凭借解释者的个人经验和水平去发现因子和资产收益之间的逻辑关系，而这真是因子定价模型的最大缺陷之一，因为一个模型的可解释性对于投资来说是相当重要的，只有一个可解释的，投资者了解其逻辑和因果关系的模型，投资者才敢放心的把钱交给这个模型，才知道模型的优势和局限性在哪里，才知道何时止损止盈，这些都要求一个模型具有很好的可解释性。当然，没有通用的严格的解释范式，并不代表其就是不可解释的，只是其会因投资经理的经验、水平和能力而异，而这种灵活性恰恰又成为了因子模型的迷人之处，让投资具有更多的可能性和成就感。

因子定价模型可以视为CAPM的一个扩展，虽然两者是源于不同的思想，但是因子定价模型中，如果假设只有一个市场因子，那么结合无风险套利定价理论（APT），构造多空无风险组合，其收益为无风险利率，便可以推导出CAPM的形式，所以因子定价模型可以认为是CAPM的扩展。实际上结合APT，因子定价模型的形式应该为：

$r_{i}-r_{f}=\sum_{k}^{m}\beta _{k}\cdot (f_{k}-r_{f})+\varepsilon _{i}$

因子定价模型中，最关键的问题之一便是如何确定定价因子。是否任何一个因子都是可以的呢？如何不是，我们该如何寻找和确定有效的定价因子呢？显然，定价因子并不是随意的，既然是定价模型，那么这个因子便必须具有定价功能，即其确确实实是被投资者考虑到了定价之中的。那么如何判断一个因子是否被定价呢？我们知道，实际上我们对资产进行定价，进行收益预估，就是在对风险进行定价，进行预估，所以资产定价实际上就是对风险进行定价。如果一个资产，其收益没有任何的不确定性，即没有任何的风险，那么其收益率必定等于无风险收益；资产的收益不同，实际上主要就是因为其收益的不确定性不同造成的，当然也会有流动性等其他因素，但是收益风险绝对是一个主要的因素。所以，我们要判断一个因子是否是有效的定价因子，即是否会对资产的收益造成影响，其实就是要判断资产在这个因子上面有没有显著的风险溢价。如果这个因子具有显著的风险溢价，即资产在该因子上的风险暴露越大，则资产的在该因子上的收益就越高，这说明市场对资产进行定价的时候有考虑这个因子风险，即该因子是被定价了的，从而这个因子会影响资产收益，也就是一个有效的定价因子。在因子定价模型中，当我们在说，某个因子对资产收益是有影响的，我们实际上是在说，该资产在该因子上的风险暴露对该资产的收益是有影响的。

所以，当我们想要判断一个因子是否是有效的定价因子时，经典的做法是，先构造因子收益（一般通过多空组合构造），然后让分组后的资产收益在因子收益上跑回归（之所以分组而不是单个资产，是为了保证风险特征的相对稳定），得到资产在该因子上的风险暴露，得到多组的因子风险暴露后，再在样本外，让资产组合收益在因子风险暴露上跑截面回归，得到的回归系数就是风险溢价，以此类推进行滚动回归，最后可以得到一系列的风险溢价，看这组因子风险溢价是否显著为正，从而判断该因子是否是稳定的有效的定价因子，这整个过程实际上就是经典的Fama-French方法。在这个过程中，我们需要明晰并理解几个概念：因子暴露、因子收益、因子风险暴露和因子风险溢价。因子暴露和因子风险暴露两者具有本质的不同，前者表示资产在该因子上的量化值，后者则表示资产收益随因子收益变动的程度度量，意味着资产收益相对于该因子的敏感性，是一种风险度量；两者有时会被混淆，但是两者也并非完全没有关系，资产的因子暴露和因子风险暴露之间，可能存在某些相关关系，有研究表明，在现实中，对于某个定价因子，因子暴露可能比通过上述方法计算得到的beta系数更能代表因子风险暴露，即利用因子暴露而非beta系数反而更可能反映出有些定价因子的风险溢价特点；barra就是比较多使用因子暴露去做一些分析和研究。在经典的Fama-French方法中，因子暴露被使用来作为对股票进行排序分组的依据，然后选取最高值和最低值构造多空组合，该组合得到的收益就是因子收益，资产收益在因子收益上的回归系数就是资产的因子风险暴露，最后资产收益在因子风险暴露上的横截面回归系数就是因子风险溢价。

至此，我们对因子定价模型已经有了一个大概的理解，为了进一步理解因子定价模型，我们需要知道定价因子和资产收益之间的关系，以及因子定价模型在现实生产中具有什么意义。从单纯的统计上看，因子定价模型是一个同期的静态分解模型，因为自变量和因变量都是同期的，所以资产收益和因子之间便不存在任何的时间上的因果关系，而且根据统计意义，一个回归方程得到的结果，也不能反映出任何的逻辑因果关系，只能反映出变量之间的相关性，所以，如果只是单纯的从统计的角度上看，因子定价模型就是一个苍白的静态分解模型，就是资产收益在不同因子收益上的一个分解，回归系数也只表示相关性而已；经济计量和统计的区别之一就在于，前者会赋予回归方程或者模型以经济意义，会给模型和回归结果寻找合理的经济解释，寻找变量之间的合理的逻辑因果关系，从而使得这个模型不再只是苍白的公式和数字，而是具有丰富含义的经济规律的反映和总结。所以，我们自然不能单纯的从统计学家的角度去看因子定价模型，而应该从经济计量学家的角度去看待因子定价模型。当我们发现一个有效的定价因子时，我们会想办法去找出为什么该因子会对资产收益有影响的逻辑，即投资者为什么会认为该因子风险是需要被考虑进去资产定价之中的，这个逻辑关系会为我们更好的理解这个因子以及其作用和局限性。资产的因子beta系数，即因子风险暴露反映资产收益对该因子收益的敏感性，不同资产的收益不同也正是因为对因子的风险暴露不同，因子和资产收益之间的逻辑因果关系也正是通过因子风险暴露来连接的。因子对资产收益的影响大小就是通过因子风险暴露来衡量，而因子风险暴露是资产组合自身的风险特征，我们可以通过调整组合的资产种类和比例来实现特定的风险特征，从而实现相应的组合管理目的。

因子定价模型在生产中具有的现实指导意义有哪些呢？即我们在投资中，因子定价模型可以起到什么样的作用呢？对于一个有效的因子定价模型，我们可以通过分析因子未来的收益，进而帮助我们选择应该投资哪种类型的资产会更好，比如，如果市值因子是一个有效的定价因子，而且我们预期未来小市值类型会走牛，从而我们可以将我们的资产组合偏向于市值因子风险暴露较高的方向构建；还可以偏向于因子风险溢价较高的因子，增加其风险暴露，获得更高的收益风险比；当然，更重要的是，因子定价模型还可以帮助我们进行组合的风险管理，以实现组合特定的风险需求，比如我们如果认为未来市值因子收益不确定性会较大，那么为了降低组合风险，我们可以选择short一定比例的小市值股票，对冲这部分风险，当然更常见的，很多投资经理会通过股指期货来对冲市场风险，以实现绝对收益，这个就是市场中性alpha策略。此外，因子定价模型还可以帮助我们分析一个投资组合的收益来源，通过在因子收益上跑回归，我们可以知道这个投资组合的收益来源到底是哪些因子的风险收益，如果是在超额收益上跑回归，那么截距项就是alpha，这个代表了投资经理的个人能力水平，因此，选择合适的因子定价模型还可以帮我们分析一个投资组合的收益来源，以及分析一个投资经理的个人能力和投资风格。

因子定价模型还有助于我们更好的理解和认识alpha收益和beta收益。所谓alpha收益，传统来讲，可以认为其是相对于CAPM而言的，即组合超额收益在市场超额收益上回归之后的截距项，beta收益则就是因子收益，在CAPM中指的就是市场收益。但是通常我们在讲alpha收益时，我们更想表达的其实是一种高收益风险比的收益特征，从这个角度来看，高alpha收益其实指的是一种超越市场战胜市场的能力，所以真正的alpha收益应该是不能以承担高风险为代价的，而是具有高收益风险比的。所以当我们有一个有效的因子模型时，我们再去判断一个策略是否具有真正的alpha时，我们便不能只是对市场超额收益跑回归看截距项了，因为这时的截距项往往是因为包含了因子风险收益而形成的，但是这部分收益是因为承担了因子风险的，并不能简单的认为其是真正的alpha。所以我们应该是用策略的超额收益在因子定价模型中所有因子超额收益上跑回归，然后再看截距项，这时的截距项才是我们想看的剔除了现在的风险因子后的真正的alpha收益。当然了，这部分alpha收益仍有可能是因为承担了未知因子风险而形成的收益，但是至少我们已经剔除了我们已知的定价因子的风险收益；其实进一步的，我们还可以看这个alpha收益是否相对稳定，可以做滚动回归得到一组alpha，如果这组alpha是相对稳定的，那么我们其实已经可以相当肯定的认为这个就是真正的alpha收益，如果是因为承担了未知因子风险而形成的收益，则往往是不太稳定的，当然，这更多的是一种经验判断。最终，无论是怎样的alpha，只要一旦策略被公开，那么这部分的alpha就会被市场所侵蚀，最终就会变成市场收益，这就是所有的alpha最终都会变成beta的原因，当然前提是没有永远的秘密，即使秘密没被主动公开，也会迟早被别人发现，毕竟人类是在不断进步和发展的，所以才没有永远圣杯，没有永远的固定不变的alpha，一个人要想获得持续的alpha，便只能不断的进步，不断的更新旧的策略，发现新的策略。

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