什么是指数函数
- 指数函数定义
- 指数函数特点
- 指数函数的“拐点”
什么是复利
- 复利公式
- 复利效应
- - 1 未来急速增长，前期不明显
  - 2 基数非常重要
  - 本金也很重要
复利的思考
- 学习领域
- 工作领域
- 投资领域
- 复利效应的人生规划

什么是指数函数

指数函数定义

这个问题有点太小儿科了，上过学的都知道。为了文章的自封闭，还是写出来吧。
f(x)=bxf(x)=b^x f(x)=bx
这就是指数函数的定义形式，其中b为底数或者基数，x为指数。
有人可能奇怪，为什么基数用字母b，而不用字母a？其实用谁都无所谓，只是为了摘取维基百科图像描述一致。

指数函数特点

摘自https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Expo02.svg

上图有4条曲线，只关注x>0的部分，可以发现，比较大的b，函数值增长的更快。
下图使用FooPlot在线函数绘图工具绘制。

这个图就和复利有很大的关系了，等到后面解释复利的时候，读者再仔细看这个图。

指数函数的“拐点”

从数学角度讲，指数函数本没有拐点，但是大家从曲线上明显可以看出，从某个位置开始，曲线急速增长，一般认为这个开始急速增长的点就是拐点。
我认为这个拐点是曲线曲率最小值的点。以1.1^x函数为例。
关于曲率，读者可以看这个知乎专栏如何简明地解释曲率（curvature）？

从图中可以看出，从第21年开始，曲率已经进入最小阶段，也就是说指数函数进入快速增长阶段。

什么是复利

复利公式

复利就是重复利息，也叫“利滚利”、“驴打滚”等。
举个例子，比如老张有10万元，借给了一个人，利息是10%。到了第一年末，老张会有10（1+10%）=11万元。第二年，老张再把钱借出去，利息还是10%，那么第二年末老张会有11（1+10%）=12.1元。依次类推，第x年，老张会有
10∗(1+10%)x10*(1+10\%)^x 10∗(1+10%)x
元。
公式后半部分就是指数函数。

下面内容摘自维基百科。

复利效应

从指数函数的曲线可以看出来，复利效应有两个。

1 未来急速增长，前期不明显

复利效应的开始阶段，数值增长很缓慢，比如老张的10万，在第8年才变成21.44万，可是到16年变成45.95万，到第24年，变成98.50万元，到第32年，数字变为211.14万。也就是说，老张30岁用10万元投资，前8年才挣11.44万，平均每年也就1.43万；前16年增值35.95万，每年2.25万，前24年，增值88.5万，平均每年3.69万；前32年，增值201.14万，每年6.29万，而从24年到32年的这八年，每年增值14万元。是前8年的10倍。

2 基数非常重要

这次仔细看这个图。

从3个曲线可以看出，如果年增值率为0.01，即10万投资，一年增值1000元，那么对应的是最下面的曲线，可以看出，90年后，增值也没有多少，也就2.45倍。
而，如果每年增值10%，那么到90年，将是5313倍，即便是到第30年，也有17.45倍。

本金也很重要

由于本金在复利计算中是线性关系，看起来没有基数那么重要，但是，如果本金差别比较大，可以减少到达目标金额的时间。
比如，两个人的财务自由的目标是1000万（未来的1000万也干不了啥）。穷人A有本金10万，富二代B有本金100万，两个人的增值率都是10%，那么A需要48.32年，而B需要24.16年，即只需要A的一半的时间。

复利的思考

再看看复利公式

这里边有3个参数，PV，i和n。PV是当前状态，i是增值率，n是多少个周期（以下都以年为单位）。

学习领域

PV表示当期掌握的知识，i表示每年学习多少新知识，n表示多少年。
根据复利效应可以发现，大家学习的开始阶段，好几年都没有突破，忽然有一年，感觉很多知识融会贯通，豁然开朗，这就是复利效应的体现。

工作领域

比如某人做销售工作，前几年人脉、渠道增长缓慢，可是到了某些年头后，忽然感觉生意很好做了。也是这个道理。

投资领域

投资的前几年虽然有收益，但是感觉收益的很少，没啥意思，有些持续坚持的人，到了多年以后，忽然发现，每年的收益相当可观，如果恰逢牛市开启，在哪些空仓者后悔不跌时，坚持的人每天都有大肉小肉吃。

复利效应的人生规划

假如人生的阶段是一条指数曲线，那么我们应该在学习阶段（最起码到大学毕业）打好基础，得到尽可能大的PV；工作阶段，坚持学习、好好工作、做点投资，有尽可能大的基数i；这样在中老年的时候（当n很大时）才会有很好的生活状态。

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