第八讲函数直接展开成幂级数

一，泰勒级数定义：

若 $f(x)$ 在点 $x=x_{0}$ 处有各阶导数 $f^{(n)}(x_{0})$ ， $(n=0,1,2,...)$ ，则可求出 $f(x)$ 在点 $x=x_{0}$ 处的泰勒级数：
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$
这是个 $x-x_{0}$ 的幂级数，收敛中心在 $x_{0}$ ，收敛区间为 $(x_{0}-R,x_{0}+R)$
如果设 $x_{0}=0$ ，则得到麦克劳林级数： $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$

二，函数 $f(x)$ 的泰勒展开式是唯一的：

若 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$ ，则 $a_{n}=\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$

三， $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$ 的充要条件：

泰勒公式的余项 $R_{n}(x)$ ，在x处的极限为0： $\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}(x)=0$
若 $\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}(x)\neq 0$ ，则 $f(x)\neq \sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$
泰勒公式如图：

四，将函数 $f(x)$ 展开成麦克劳林级数 $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$ 的步骤：

直接展开法

求出 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的各阶导数： $f(0),{f}'(0),{f}''(0),...$ ,，如果处某阶导数不存在，则不能展开
写出幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}=f(0)+{f}'(0)x+\frac{{f}''(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+...$ ，并求出收敛半径R
写出余项 $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}x^{n+1}$
考察当x在收敛区间内 $(-R,R)$ 时，余项 $R_{n}(x)$ 的极限是否为0： $\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}(x)=0$ ，如果为0，则 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$

五，例题1，将函数 $f(x)=e^{x}$ 展开成x的幂级数

$f^{(n)}(x)=(e^{x})^{(n)}=e^{x}$ ， $f^{(n)}(0)=e^{0}=1$
写出幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}x^{n}$ ，收敛域 $(-\infty ,\infty )$
写出余项 $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}x^{n+1}=\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}x^{n+1}$ ， $\left |\xi \right |< \left |x \right |$
当x在收敛区间内 $(-\infty ,\infty )$ 时：
$\left |R_{n}(x) \right |=\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}\left |x \right |^{n+1}\leq \frac{e^{\left |\xi \right |}}{(n+1)!}\left |x \right |^{n+1}< e^{\left |x \right |}\frac{\left |x \right |^{n+1}}{(n+1)!}$
因为 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left |x \right |^{n+1}}{(n+1)!}$ 收敛，所以 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left |x \right |^{n+1}}{(n+1)!}=0$ ，因此 $\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}(x)=0$
结论 $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}$ ，收敛域 $(-\infty ,\infty )$

六，例题2，将函数 $f(x)=sin(x)$ 展开成x的幂级数

$f^{(n)}(x)=sin^{(n)}(x)=sin(x+\frac{n\pi }{2})$ ， $f^{(n)}(0)=sin(\frac{n\pi }{2})$ ， $(n=0,1,2,...)$ ，含n不能直接代
展开： $sin(x)\sim 0+x+0-\frac{x^{3}}{3!}+0+\frac{x^{5}}{5!}+...=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...$
写出幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{(2n+1)}}{(2n+1)!}$ ，收敛域 $(-\infty ,\infty )$
写出余项 $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}x^{n+1}=\frac{sin(\xi +\frac{(n+1)\pi }{2})}{(n+1)!}x^{n+1}$ ， $\left |\xi \right |< \left |x \right |$
当x在收敛区间内 $(-\infty ,\infty )$ 时：
$\left |R_{n}(x) \right |=\frac{\left |sin(\xi +\frac{(n+1)\pi }{2}) \right |}{(n+1)!}\left |x \right |^{n+1}\leq \frac{1}{(n+1)!}\left |x \right |^{n+1}$
因为 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left |x \right |^{n+1}}{(n+1)!}$ 收敛，所以 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left |x \right |^{n+1}}{(n+1)!}=0$ ，因此 $\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}(x)=0$
结论 $sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{(2n+1)}}{(2n+1)!}$ ，收敛域 $(-\infty ,\infty )$

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