Luogu1880 石子合并

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1880

石子合并

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放 NNN 堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出一个算法,计算出将 NNN 堆石子合并成 111 堆的最小得分和最大得分。

输入格式

数据的第 111 行是正整数 NNN，表示有 NNN 堆石子。

第 222 行有 NNN 个整数，第 iii 个整数 aia_iai表示第 iii 堆石子的个数。

输出格式

输出共 222 行，第 111 行为最小得分，第 222 行为最大得分。

输入输出样例

输入 #1

4
4 5 9 4

输出 #1

43
54

说明/提示

1≤N≤1001\leq N\leq 1001≤N≤100，0≤ai≤200\leq a_i\leq 200≤ai≤20。

题解

退役咸鱼含泪复习区间dpdpdp……

显然，对于一个区间[l,r][l,r][l,r]，它合并结果的最优解肯定来源于它某两个相邻子区间[l,m],[m+1,r](l≤m<r)[l,m],[m+1,r](l\le m<r)[l,m],[m+1,r](l≤m<r)的合并最优解，因为对于[l,r][l,r][l,r]来说，合并两个相邻子区间产生的贡献是一定的，等于区间[l,r][l,r][l,r]中石子的总个数，要使[l,r][l,r][l,r]为最优解，只能使这两个子区间为最优解。

所以，我们用dp[l][r]dp[l][r]dp[l][r]来表示合并区间[l,r][l,r][l,r]中所有石子能得到的最大得分，转移时枚举分界点mmm，就能得到一个转移方程：
dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][m]+dp[m+1][r]+val[l][r])dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][m]+dp[m+1][r]+val[l][r])dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][m]+dp[m+1][r]+val[l][r])
(l≤m<r,val[l][r](l\le m<r,val[l][r](l≤m<r,val[l][r]为区间[l,r][l,r][l,r]中的所有石子个数之和)))

但是具体的代码实现不能采用枚举lll、枚举rrr再枚举mmm的做法，因为lll固定时，以mmm为左端点的区间的dpdpdp值我们并不知道，没法进行转移。因此我们只能从小到大枚举区间长度，当求出较小区间的dpdpdp值后再合并更新较大的区间。

另外，因为此题中石子排列成了一个环，所以我们需要枚举环断开的地方，每次都做一次dpdpdp取最大/小值。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=105;
int n,ansx,ansn=1e7;
int dpx[M][M],dpn[M][M],val[M][M],sto[M<<1];
void in()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&sto[i]),sto[i+n]=sto[i];
}
void dp(int s)
{memset(dpx,0,sizeof(dpx));memset(dpn,127,sizeof(dpn));for(int i=1;i<=n;++i)dpx[i][i]=dpn[i][i]=val[i][i]=sto[i+s];for(int i=1;i<n;++i)for(int j=n-i;j>=1;--j){val[j][j+i]=val[j][j]+val[j+1][j+i];for(int k=0;k<i;++k)dpx[j][j+i]=max(dpx[j][j+i],dpx[j][j+k]+dpx[j+k+1][j+i]+val[j][j+i]),dpn[j][j+i]=min(dpn[j][j+i],dpn[j][j+k]+dpn[j+k+1][j+i]+val[j][j+i]);}ansx=max(ansx,dpx[1][n]);ansn=min(ansn,dpn[1][n]);
}
void ac()
{for(int i=0;i<n;++i)dp(i);printf("%d\n%d",ansn-val[1][n],ansx-val[1][n]);
}
int main(){in(),ac();}