Luogu4781 【模板】拉格朗日插值

原题链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4781

拉格朗日插值

题目背景

这是一道模板题

题目描述

由小学知识可知， nnn 个点 (xi,yi)" role="presentation" style="position: relative;">(xi,yi)(xi,yi)(x_i,y_i) 可以唯一地确定一个多项式。

现在，给定 nnn 个点，请你确定这个多项式，并将 k" role="presentation" style="position: relative;">kkk代入求值。

求出的值对 998244353998244353998244353 取模。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个正整数 n,kn,kn,k，含义如题。

接下来 nnn 行，每行两个正整数 xi,yi" role="presentation" style="position: relative;">xi,yixi,yix_i,y_i ，含义如题。

输出格式：

一个整数表示答案

输入输出样例

输入样例#1：

3 100
1 4
2 9
3 16

输出样例#1：

10201

输入样例#2：

3 100
1 1
2 2
3 3

输出样例#2：

100

说明

n≤2000xi,yi,k≤998244353n≤2000xi,yi,k≤998244353n \leq 2000 \; \; \; x_i,y_i,k \leq 998244353

样例一中的三个点确定的多项式是 f(x)=x2+2x+1f(x)=x2+2x+1f(x)=x^2+2x+1，将 100100100 代入求值得到 102011020110201。

样例二中的三个点确定的多项式是 f(x)=xf(x)=xf(x)=x ，将 100100100 代入求值得到 100100100。

如果你不会拉格朗日插值，你可以到这里去学习一下。

此外，请注意算法的常数问题，建议开启O2优化。

题解

所谓lagrangelagrange\mathcal{lagrange}插值法核心就是下面的公式，我们可以通过这个公式求出唯一的一个n−1n−1n-1阶多项式，使得多项式的函数图像经过给定的nnn个点：

f(x)=∑i=1nyi∏j=1,j≠inx−xjxi−xj" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">f(x)=∑i=1nyi∏j=1,j≠inx−xjxi−xjf(x)=∑i=1nyi∏j=1,j≠inx−xjxi−xj

f(x)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{j=1,j\neq i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}

这个式子看起来非常复杂，实际上本质非常简明，设g(x)=∏nj=1,j≠ix−xjxi−xjg(x)=∏j=1,j≠inx−xjxi−xjg(x)=\prod_{j=1,j\neq i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}，就有g(xj)=0,g(xi)=1g(xj)=0,g(xi)=1g(x_j)=0,g(x_i)=1，实际上其他的xxx都会被消掉，只有g(xi)" role="presentation" style="position: relative;">g(xi)g(xi)g(x_i)才有值，所以这个多项式表示的函数图像能经过给出的所有点。

唯一性的证明：通过待定系数法列出方程后，系数矩阵是范德蒙德矩阵，存在逆矩阵，因而解具有唯一性。

lagrangelagrange\mathcal{lagrange}插值法告诉我们：nnn个点可以确定一个唯一的项数不超过点数的多项式，这一点非常重要，这种用点描述多项式的形式称为多项式的点值形式，从点值变成系数式的过程称为插值。

对于这道题来说，我们就不需要一一算出每一项的系数，只需要把k" role="presentation" style="position: relative;">kkk代入f(x)f(x)f(x)，按照公式枚举一下i,ji,ji,j就能在O(n2)O(n2)O(n^2)的时间内算出f(k)f(k)f(k)的值。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=2e4+5,mod=998244353;
int n,k,x[M],y[M];
void in(){scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);}
int power(int a,int p){if(p==1)return a;int hh=power(a,p/2);return (p&1)?1ll*hh*hh%mod*a%mod:1ll*hh*hh%mod;}
int lagrange(int n,int k)
{int ans=0,s1,s2;for(int i=1;i<=n;++i){s1=s2=1;for(int j=1;j<=n;++j){if(i==j)continue;s1=1ll*s1*(k-x[j])%mod;s2=1ll*s2*(x[i]-x[j])%mod;}ans=(ans+1ll*y[i]*s1%mod*power(s2,mod-2))%mod;}return ans<0?ans+mod:ans;
}
void ac(){printf("%d",lagrange(n,k));}
int main(){in();ac();}