P5667 拉格朗日插值2（拉格朗日插值，NTT，倒推求逆元）

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https://www.luogu.com.cn/problem/P5667

Problem

Solution

我们 O(n)O(n)O(n) 预处理一下式子中需要用到的多种阶乘，以及 m−n+im-n+im−n+i 的逆元，然后直接 NTT 即可。

注意细心多乘 1ll

Code

// Problem: P5667 拉格朗日插值2
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P5667
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1 << 19, p = 998244353, mod = 998244353, G = 3, GI = 332748118;int limit, L, RR[N];
int minv[N], inv[N], fact[N], infact[N], mfact[N], minfact[N];int qpow(int a, int b)
{int res = 1;while(b) {if(b & 1) res = 1ll * res * a % mod;a = 1ll * a * a % mod;b >>= 1;}return res % mod;
}void NTT(int *A, int type)
{for(int i = 0; i < limit; ++ i) if(i < RR[i])swap(A[i], A[RR[i]]);for(int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {int wn = qpow(G, (mod - 1) / (mid * 2));if(type == -1) wn = qpow(wn, mod - 2);for(int len = mid << 1, pos = 0; pos < limit; pos += len) {int w = 1;for(int k = 0; k < mid; ++ k, w = (1ll * w * wn) % mod) {int x = A[pos + k], y = 1ll * w * A[pos + mid + k] % mod;A[pos + k] = (x + y) % mod;A[pos + k + mid] = (x - y + mod) % mod;}}}if(type == -1) {ll limit_inv = qpow(limit, mod - 2);for(int i = 0; i < limit; ++ i)A[i] = (A[i] * limit_inv) % mod;}
}void poly_mul(int *a, int *b, int deg)
{limit = 1, L = 0;while(limit <= deg) limit <<= 1, L ++ ;for(int i = 0; i < limit; ++ i) RR[i] = (RR[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));NTT(a, 1), NTT(b, 1);for(int i = 0; i < limit; ++ i)a[i] = 1ll * a[i] * b[i] % mod;NTT(a, -1);
}void init(int n, int m)
{fact[0] = infact[0] = mfact[0] = minfact[0] = 1;for(int i = 1; i <= 2 * n + 1; ++ i) {fact[i] = 1ll * fact[i - 1] * i % mod;mfact[i] = 1ll * mfact[i - 1] * (m - n + i - 1) % mod;}infact[2 * n + 1] = qpow(fact[2 * n + 1], mod - 2); minfact[2 * n + 1] = qpow(mfact[2 * n + 1], mod - 2);for(int i = 2 * n + 1; i; -- i) {infact[i - 1] = 1ll * infact[i] * i % mod;minfact[i - 1] = 1ll * minfact[i] * (m - n + i - 1) % mod;inv[i] = 1ll * infact[i] * fact[i - 1] % mod;minv[i] = 1ll * minfact[i] * mfact[i - 1] % mod;}minv[0] = 1;
}int n, m, a[N], b[N], c[N], f[N];int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);init(n, m); for(int i = 0; i <= n; ++ i)scanf("%d", &f[i]);for(int i = 0; i <= n; ++ i) {a[i] = 1ll * f[i] * infact[i] % mod * infact[n - i] % mod;if((n - i) & 1) a[i] = mod - a[i]; }for(int i = 0; i <= 2 * n; ++ i)b[i] = minv[i + 1];poly_mul(a, b, n * 3);for(int i = n; i <= 2 * n; ++ i) { printf("%d ", 1ll * mfact[i + 1] * minfact[i - n] % mod * a[i] % mod);}return 0;
}

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