线性代数(四十二) ：超定方程组

2024-06-07 12:58:10

如果一个线性方程组的方程数大于其未知数的个数,这样的方程组就叫做超定方程组(Overdetermined System).

1 超定方程

对于未知量：

很多时候我们不能直接测得他们的值.却可以测得他们的某些线性组合：

假设可以得到m个这样的线性组合,则可以构造方程组:

其中

为各线性组合的测量值,A为mxn的矩阵,

我们需要检查测量值个数m是否大于我们所关心的未知量的个数,

一旦m>n,此时方程组为超定方程组.通常无解.但是测量值本身就不是精确的.

我们无需要求方程被精确的满足.因此我们只需求出使：

取得最小值的x即可,x的这个值与真实值最为接近.

2 求解超定方程组

定理：

设A是mxn的矩阵，且A只有平凡的零化向量0(否则x不唯一),则使

取得最小值的x恰好是满足下列方程的z:

(1)式

证明(该证明不是严谨的证明)：

首先证明(1)式有唯一解：

(1)式是一个n个未知数n个方程的方程组,该方程组有唯一解当且仅当：

只有平凡解y=0,考虑y的标量积：

因此Ay=0,又因为A只有平凡零化向量,因此y=0.这就说明(1)式有唯一解.

断言：

任取x并将其拆成x=z+y则：

根据假设Az-p与Ay正交由勾股定理：

这就表明当x=z时：

取得最小值.为了求z,将假设条件写为：

利用A的伴随上式可写为：

因为对全体y成立。因此：

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