求解线性超定方程组的最小二乘解[n个未知数，大于n个方程组](附代码)

2024-06-20 07:27:24

本文针对n个未知数，大于n个方程组。求解未知数的问题，matlab代码。

一、首先，请注意，本文说的是线性超定方程组，方程组是线性的，不含有未知数的出发以及乘方。

求线性超定方程组，有这么几种方法：

1. 直接法

2. QR分解

3. SVD分解

4. 迭代法

本文首先选用直接法求解线性方程组，计算效率快，运行方便，代码短。

二、以2个未知数，四个方程为例。也可以是n个未知数，大于n个方程组求解。

随意一个方程组：

上式可写：

代码如下所示：Matlab

clc;clear;close all;A=[2,4;3,-7;10,-15;4,11];   %方程组系数矩阵B=[11;-14;-29;31];    %方程组右边的列向量X=A\B;

运行结果如下所示：

0.8440
2.4779

matlab能使用左除运算智能选择算法解线性方程组（若无解，则求得的是最小二乘意义下的解）;

此外，还可以利用广义逆求解：

程序代码如下所示：

clc;clear;close all;A=[2,4;3,-7;10,-15;4,11];   %方程组系数矩阵B=[11;-14;-29;31];    %方程组右边的列向量X=pinv(A)*B;

运行结果也是：

0.8440
2.4779

广义逆求解也是一个满足最小二乘意义的解。

三、对于左除求解和广义逆求解两个结果，我们来看看残差的2范数是否最小

分别求得两个方法的残差二范数：

norm(B-A*X1) norm(B-A*X2)

将求得的残差二范数进行相减：

norm(B-A*X1)-norm(B-A*X2)

即可得到残差的二范数大小。

可以得出如下结论：

左除求解和广义逆求解超定方程解：两个解都是最小二乘意义下的最优解，不过用广义逆求的解更佳，因为其中0元素较多（即最小二乘意义下的所有解中欧式范数最小的解），但是，左除计算效率较快，矩阵求逆的效率太慢。利用广义逆求解时间花费更长。

四、另外需要知道的是：

最小二乘法求解的是最优解，并不是解析解。只是的取最小的时候的最优解。

最小二乘法的英文是The least square method，二乘指的是平方。可以很好的理解最小的定义。

五、选用SVD分解求矩阵的最小二乘解

上述理解来自于https://blog.csdn.net/liyuanbhu/article/details/53240209

svd函数代码的理解来自于：https://blog.csdn.net/qq278672818/article/details/62038635：如下

代码如下：

clc;
clear;
close all;
A=[2,4;3,-7;10,-15;4,11];%方程组系数矩阵
B=[11;-14;-29;31];%方程组右边的列向量[U,S,V]=svd(A,0);
C=V*(inv(S))*U';   %A的逆
X=C*B;

输出结果X为：

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