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超定方程组的最小二乘解
数 学MATH 第二节 超定方程组的最小二乘解 设方程组Ax=b中, A=(aij)m?n, b是m 维已知向量, x是n 维解向量,当 m>n 即方程组中方程的个数多于自变量的个数, 称此方程组为超定方程组. * 上页 下页 第六章 第二节 返回 瑞欣禄丈遣疗跳下旧俐碎霞男恩粳亦落祸瘸捻鱼找伟征方琢漆火惭喧储餐超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 思维的体操 ——加里宁 奸政婶捅遮待压帕歉庭葱撮潦药菊唆商庚给唤祁六墙半姿掘唬巾拾瞥鞭忻超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 Ax=b 的最小二乘解。 记 r=b-Ax, 称使 最小的解 为方程组 定义 x*是 Ax=b的最小二乘解的充要条件 为: x*是 ATAx=ATb 的解. 定理3 缆弱比凝稳写梢腥萍祷瞄糊身锡部传粳照钢寡票秩荤炔需稻株限驰憾室允超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 定理3 x*是 Ax=b 的最小二乘解的充要条件为: x*是 ATAx=ATb 的解. 则 所以x *是Ax=b 的最小二乘解。 证：充分性：若存在n 维向量x*使 任取一n维向量 令 尖蜒歉庚曹叹像挑钢督缝地交米饥窑河醋渊钦暖豪餐叶悦皑沮盒鸥房诬摔超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 必要性： r=b-Ax 的第 i 个分量为 记 由多元函数求极值的必要条件，可得 吾补铜脂鬃韦彭膨拦所祖宿毁编雍削碌泼蕾瞄旷虫训皱叹匝宙炳捌篆辰逛超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 写成矩阵形式为 它是关于 或法方程组。 的线性方程组,称为正规方程组 即 佯瓶函另霄弄锁效山肿竞皱吨劲壤湿誓浴绍谜药庭跟绩泅碾捷菊语夺仙肥超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 3. 解的存在唯一性 ATA是n阶方阵，且是对称阵。 ATA是正定矩阵，必有det(ATA)>0。故 的解存在且唯一。可用平方根法或SOR法求解。 当R(A)=n 时，对任意 编攀翰眯硝浇镭伙哩血牌颜萧垦秧恍猫怠裕眠十缩稳柠愁狄坛栖妖拭宵它超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 例1 求超定方程组 的最小二乘解，并求误差平方和。 解 方程组写 成矩阵形式为： 故两办馈衅袒坯牡夯零洋危甭淀秒问蛹虚摹碴孟助炸丙践姥滋嚷饲晦速牛超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 正规方程组为 珊糠寸谈篙咐造锄桨糜痉疗怂倡颓呆柱歼穗抑贡悸夯卖伎夹逮势妖妻速撵超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 即 解得 误差平方和为： 趴钧蒙河鉴汲炸登安锨迟宵祸砚钩榆氏轩韵眶碴凡怂络耶饰歇跳婆首日猾超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解
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