Otsu算法，又被称为最大类间方差法（大津算法），是一种确定阈值的算法。

1. 算法理解

Otsu算法之所以称为最大类间方差法是因为，该方法主要是通过阈值进行前后背景分割，而该方法确定最佳阈值的方法是该值使类间方差最大，它是按图像的灰度特性,将图像分成背景和前景两部分，使类间方差最大的分割意味着错分概率最小。

2. 算法原理

以灰度图像为例，对于图像imgimgimg，我们可以将其看作一个M×NM\times NM×N大小的矩阵，即图像中的像素，每一个值即为像素值，其中像素值在(0255)(0~255)(0 255)之间。
前景(即目标)和背景的分割阈值记作optimalthresholdoptimal_{threshold}optimalthreshold，属于前景的像素点数占整幅图像的比例记为ω0ω_0ω0，前景平均灰度记为μ0μ_0μ0；背景像素点数占整幅图像的比例记为ω1ω_1ω1，其平均灰度记为μ1μ_1μ1。图像的总平均灰度记为μμμ，类间方差记为maximummaximummaximum。
假设图像的背景较暗，并且图像的大小为M×N，图像中像素的灰度值小于阈值optimalthresholdoptimal_{threshold}optimalthreshold的像素个数记作N0N_0N0，像素灰度大于等于阈值optimalthresholdoptimal_{threshold}optimalthreshold的像素个数记作N1N_1N1，则有：
ω0=N0/(M×N)(1)ω_0=N_0/ (M×N) \tag{1} 　　　　　　　　　　　　ω0=N0/(M×N)　　　　　　(1)
　　　　　　ω1=N1/(M×N)(2)ω_1=N_1/ (M×N) \tag{2} 　　　　　　　　　　　　ω1=N1/(M×N)　　　　　　(2)
　　　　　　N0+N1=M×N(3)N_0 + N_1 = M×N\tag{3} 　　　　　　　　　　　　N0+N1=M×N　　　　　　(3)
　　　　　　1=ω0+ω1(4)1 = ω_0 + ω_1\tag{4} 　　　　　　　　　　　　1=ω0+ω1　　　　　　(4)
　　　　　　μ=ω0×μ0+ω1×μ1(5)μ = ω_0 \times μ_0 + ω_1 \times μ_1\tag{5} 　　　　　　　　　　　　μ=ω0×μ0+ω1×μ1　　　　　　(5)
　　　　　　maximum=ω0×(μ0−μ)2+ω1×(μ1−μ)2(6)maximum = ω_0 \times (μ_0 - μ)^2 + ω_1 \times (μ_1 - μ)^2\tag{6} 　　　　　　maximum=ω0×(μ0−μ)2+ω1×(μ1−μ)2(6)
将式(5)代入式(6)，得到等价公式(7)：
maximum=ω0×ω1×(μ0−μ1)2(7)maximum = ω_0 \times ω_1 \times (μ_0 - μ_1)^2\tag{7} 　　　　　　maximum=ω0×ω1×(μ0−μ1)2(7)
采用遍历的方法得到使类间方差maximummaximummaximum最大的阈值optimalthresholdoptimal_{threshold}optimalthreshold。

3. 分割方式

通过使用Ostu 算法对最佳阈值求解后，我们可以选择不同的分割方式进行分割，分割方式如下：

二值法( threshbinarythresh \;binarythreshbinary)
img(i,j)={maxvalifimg(i,j)>threshold0otherwise(8)img(i,j)=\begin{cases} maxval & if \quad img(i,j)>threshold\\ 0 & otherwise \end{cases}\tag{8} img(i,j)={maxval0ifimg(i,j)>thresholdotherwise(8)
当然，该方法也可以稍微转变，改变前后背景，即目标，如公式(9)
img(i,j)={0ifimg(i,j)>thresholdmaxvalotherwise(9)img(i,j)=\begin{cases} 0& if \quad img(i,j)>threshold\\ maxval & otherwise \end{cases}\tag{9} img(i,j)={0maxvalifimg(i,j)>thresholdotherwise(9)
公式(9)也可以被称作逆二值法( threshbinaryinvthresh \;binary\;invthreshbinaryinv)

截断法(threshtruncthresh \;truncthreshtrunc)
img(i,j)={thresholdifimg(i,j)>thresholdimg(i,j)otherwise(10)img(i,j)=\begin{cases} threshold& if \quad img(i,j)>threshold\\ img(i,j) & otherwise \end{cases}\tag{10} img(i,j)={thresholdimg(i,j)ifimg(i,j)>thresholdotherwise(10)
该方法能不能像上面方法一样，有一个逆截断法呢？当然也是可以的，可以根据具体需要进行相应的改变。
逆截断法(threshtruncinvthresh \;trunc\;invthreshtruncinv) 如公式(11)所示：
img(i,j)={img(i,j)ifimg(i,j)>thresholdthresholdotherwise(11)img(i,j)=\begin{cases} img(i,j)& if \quad img(i,j)>threshold\\ threshold & otherwise \end{cases}\tag{11} img(i,j)={img(i,j)thresholdifimg(i,j)>thresholdotherwise(11)

归零法(threshtozerothresh\;tozerothreshtozero)
img(i,j)={img(i,j)ifimg(i,j)>threshold0otherwise(12)img(i,j)=\begin{cases} img(i,j)& if \quad img(i,j)>threshold\\ 0& otherwise \end{cases}\tag{12} img(i,j)={img(i,j)0ifimg(i,j)>thresholdotherwise(12)

逆归零法(threshtozeroinvthresh\;tozero\;invthreshtozeroinv) 如公式(13)所示：
img(i,j)={0ifimg(i,j)>thresholdimg(i,j)otherwise(13)img(i,j)=\begin{cases} 0& if \quad img(i,j)>threshold\\ img(i,j)& otherwise \end{cases}\tag{13} img(i,j)={0img(i,j)ifimg(i,j)>thresholdotherwise(13)

4. 算法评价

优点：算法简单，当目标与背景的面积相差不大时，能够有效地对图像进行分割。

缺点：类间方差法对噪声以及目标大小十分敏感，它仅对类间方差为单峰的图像产生较好的分割效果。当目标与背景的大小比例悬殊时（例如受光照不均、反光或背景复杂等因素影响），类间方差准则函数可能呈现双峰或多峰，或者目标与背景的灰度有较大的重叠时，效果不不是很理想。

原因：该方法忽略了图像的空间信息，同时将图像的灰度分布作为分割图像的依据，对噪声也相当敏感。

5. 算法实现

以下方图片为例：

使用Ostu 算法进行分割的效果如下：

上图分割时使用的是归零法。

算法代码

Ostu算法(最大类间方差代码)

function[optimal_threshold] = Maximum_between_class_variance(img)[row, col] = size(img);count_pixel = row * col;maximum = -1;for i=0:255N0 = sum(sum(img<i));N1 = count_pixel - N0;omega0 = N0 / count_pixel;omega1 = 1 - omega0;mu0 = sum(img(img<i)) / N0;mu1 = sum(img(img>=i)) / N1;g = omega0 * omega1 * (mu0 - mu1) ^ 2;if g > maximummaximum = g;optimal_threshold = i;endend
end

测试代码

img = imread("fig.tif");
imshow(img)
threshold = Maximum_between_class_variance(img);
img(img<=threshold) = 0;
imshow(img);

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