实对称矩阵的特征值求法_MIT—微分方程与线性代数笔记6.5 对称矩阵,实特征值,正交特征向量...
§6.5 对称矩阵,实特征值,正交特征向量
Symmetric Matrices, Real Eigenvalues, Orthogonal Eigenvectors
MIT公开课《微分方程和线性代数》6.5 对称矩阵、实特征值和正交特征向量v.youku.com
在线性微分方程组中会遇到对称矩阵
与之相对,反对称矩阵
对于满足
Q,其所有特征值的模长
例:
对称矩阵S的特征值为
反对称矩阵A的特征值为
矩阵B=A+3I的特征值为
正交矩阵Q的也是矩阵A的变体,除去归一化的因子
A+I,因此其特征值为为
- 复数、复向量和复矩阵
若有复数
对于复向量x,它的长度
对于实矩阵,我们寻找对称矩阵
§6.5b 二阶常微分方程组
Second Order Systems
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本讲介绍二阶常微分方程组
S为对称矩阵满足
例如振荡方程
M为质量矩阵,而K为刚性矩阵。在实际应用中,第一步就是建立方程,即确定这些参数矩阵。
所寻找的解函数形如
M是常数乘以单位阵cI。
对于二阶常微分方程组
y(0)和y'(0),这两个向量包含2n个初值,因此需要2n个解函数与之相匹配。
例:
二阶微分方程组
M=mI。方程组的解就是重物的运动轨迹,即位移随时间的变化。方程等式右侧为零,代表没有外力项在运动过程中给弹簧重物组注入新能量,物体的运动模式为纯简谐振动,但是这些振荡是相互耦合的。
刚度矩阵
刚度矩阵中的参数来自于重物上下的弹簧的伸长量,例如重物1受到来自于上下两个弹簧的作用,上方弹簧的作用力为
,下方弹簧作用力为,则合力。其它两组以此类推。
解函数为
代入t=0可知解函数中的余弦函数的三个参数A和初值y(0)相匹配,而正弦函数的三个参数B则和y'(0)相匹配。
例:
方程描述了具有两个重量为m的重物构成的弹簧重物组。矩阵
如果给定的初值状态是在t=0时刻,将m1和m2两个重物设置在某一特定位置,则初值中给出了初始位移,但是初始的速度为0,即y'(0)=0,因而可知解函数中的两个参数B均为0。则解函数为
y(0)控制。从解函数中两个特征向量可以看出,有两种基本的运动模式,其一就是两物体同相振动(m1和m2以相同的相位振动),对应解函数中的第一项,其二就是相向运动,对应解函数中的第二项,而第二项的运动频率较高,重物的运动模式就是低频的同向运动和高频的相向运动的组合。如果是三个重物组成的弹簧重物组,则是三种模式的运动的叠加。
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