定积分的概念

定积分的产生背景

\quad不定积分与定积分是积分学中的两大基础问题，在不定积分部分，我们知道，不定积分是求导的逆运算，而本节将要介绍的定积分实质上是某种特殊性质的极限，两者既有区别，又有联系。

\quad下面分析几个示例，引出定积分的概念。

1. 曲边梯形的面积：
\quad设 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 是闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上的连续函数，且 f(x)≥0f(x) \ge 0f(x)≥0，由曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x)、直线 x=ax=ax=a、直线 x=bx=bx=b 与 xxx 轴所围成的平面图形的面积称为曲边梯形。下面来求曲线梯形的面积。

\quad在区间 [a,b][a,b][a,b] 上任取一系列分点 xix_ixi，作成一种划分：
P:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b,P:a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b, P:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b,
记小区间 [xi,xi][x_i,x_i][xi,xi] 的长度 Δxi=xi−xi−1\Delta x_i=x_i-x_{i-1}Δxi=xi−xi−1,.

\quad在每个小区间 [xi−1,xi][x_{i-1},x_i][xi−1,xi] 上任取一点 ξi\xi_iξi，用底为 Δi\Delta_iΔi，高为 f(ξi)f(\xi_i)f(ξi) 的小矩形近似代替小曲边梯形的面积。则所有这些小矩形的面积之和
∑i=1nf(ξi)Δxi\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i i=1∑nf(ξi)Δxi
就是整个大的曲边梯形的面积的近似。
\quad令 λ=max⁡1≤i≤n{Δxi}\lambda=\underset{1 \le i \le n}{\max}\{\Delta x_i\}λ=1≤i≤nmax{Δxi}，当 λ→0\lambda \rightarrow 0λ→0 时，若极限
lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi\underset{\lambda \rightarrow 0}{\lim}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi
存在，那么这个极限就是所要求的曲边梯形的实际面积。

注意：由于这个曲边梯形的面积是一个客观存在的常量，所以这个极限理所当然地应该与划分 PPP 和 ξi\xi_iξi 的取法无关。

2. 变速质点求路程：
\quad求一个速度为 v(t)v(t)v(t) 作变速运动的质点从时间 t=T1t=T_1t=T1 到 t=T2t=T_2t=T2 所经过的路程。
\quad可以在区间 [T1.T2][T_1.T_2][T1.T2] 上取一系列的分点 ξi\xi_iξi 作成一种划分：
P:T1=t0<t1<t2<⋯<tn=T2,P:T_1=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_n=T_2, P:T1=t0<t1<t2<⋯<tn=T2,
记小区间的长度 Δti=ti−ti−1\Delta t_i=t_i-t_{i-1}Δti=ti−ti−1。

\quad在每个小区间 [ti−1,ti][t_{i-1},t_i][ti−1,ti] 上任取一点 ξi\xi_iξi，则当 Δti\Delta t_iΔti 充分小时，v(ξi)v(\xi_i)v(ξi) 就可以近似地看作是在 [ti−1,ti][t_{i-1},t_i][ti−1,ti] 时间段中的平均速度。因此在该时间段中质点经过的路程就近似地等于 v(ξi)⋅Δtiv(\xi_i)\cdot \Delta t_iv(ξi)⋅Δti。

\quad于是，整个路程就近似地等于
∑i=1nv(ξi)Δti，\sum_{i=1}^{n}v(\xi_i)\Delta t_i， i=1∑nv(ξi)Δti，
若当 λ=max⁡1≤i≤n{Δti}→0\lambda=\underset{1 \le i \le n}{\max}\{\Delta t_i\} \rightarrow 0λ=1≤i≤nmax{Δti}→0 时，极限
lim⁡λ→0∑i=1nv(ξi)Δti\underset{\lambda \rightarrow 0}{\lim}\sum_{i=1}^{n}v(\xi_i)\Delta t_i λ→0limi=1∑nv(ξi)Δti
存在，那么这个极限值就是所要求的的路程的精确值。

注意：由于路程也是一个客观存在的常量，上述极限显然也与划分 PPP 和 ξi\xi_iξi 的取法无关。

通过以上实例，可引出定积分的概念。

定积分的定义

定义 1（Riemann积分）：设 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 是定义在 [a,b][a,b][a,b] 上的函数，在 [a,b][a,b][a,b] 上任意取分点 {xi}i=0n\{x_i\}_{i=0}^{n}{xi}i=0n，作成一种划分
P:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b,P:a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b, P:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b,
并任意取点 ξ∈[xi−1,xi]\xi \in [x_{i-1},x_i]ξ∈[xi−1,xi]，i=1,2,⋯,ni=1,2,\cdots,ni=1,2,⋯,n。作和式
Sn=∑i=1nf(ξi)Δxi,S_n=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i, Sn=i=1∑nf(ξi)Δxi,
则称和式 SnS_nSn 为函数 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上的一个积分和，或 Riemann和。

\quad记小区间 [xi−1,xi][x_{i-1},x_i][xi−1,xi] 的长度 Δxi=xi−xi−1\Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}Δxi=xi−xi−1，令 λ=max⁡1≤i≤n{Δxi}\lambda=\underset{1 \le i \le n}{\max}\{\Delta x_i\}λ=1≤i≤nmax{Δxi}，若存在某个实数 III 使得
lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi=I,\underset{\lambda \rightarrow 0}{\lim}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=I, λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi=I,
并且极限值 III 既与划分 PPP 无关，又与 ξi\xi_{i}ξi 的取法无关，则称 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上 Riemann可积，称极限值 III 为 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上的 Riemann积分，或定积分，记作：
∫f(x)dx.\int f(x)dx. ∫f(x)dx.
其中，f(x)f(x)f(x) 称为被积函数，xxx 称为被积变量，[a,b][a,b][a,b] 称为积分区间，aaa、bbb 分别称为定积分的下限和上限。

\quad对上述定义，作以下说明：

对于任意一个划分 PPP，λ=max⁡1≤i≤n{Δxi}\lambda=\underset{1 \le i \le n}{\max}{\{\Delta x_i\}}λ=1≤i≤nmax{Δxi} 反映了区间 [a,b][a,b][a,b] 被分割的细密程度，通常称为划分 PPP 的细度或模。
对于给定的一个划分 PPP， λ=max⁡1≤i≤n{Δxi}\lambda=\underset{1 \le i \le n}{\max}{\{\Delta x_i\}}λ=1≤i≤nmax{Δxi} 是随之唯一确定的，但具有相同 λ\lambdaλ 的划分却是有无限多个。
从定义可以看出，定积分的本质是一种极限，但又不同于函数极限。区别在于：数列极限或函数极限中，自变量是简单的 nnn 或 xxx，而积分和的极限（定积分）中对于每个确定的 λ\lambdaλ，其对应的划分 PPP 却可以是无穷多个，而相对于某个划分 PPP，ξi\xi_iξi 的取法又有无限多种，因此有无限多个不同的积分和。
在不会发生混淆的情况下，一般就将 ”Riemann 可积“ 简称为 “可积”。
定积分作为 Riemann和的极限，其值仅与被积函数以及积分区间有关，与积分变量所用的符号无关。即
∫f(x)dx=∫f(t)dt=∫f(u)du=⋯.\int f(x)dx=\int f(t)dt=\int f(u)du=\cdots. ∫f(x)dx=∫f(t)dt=∫f(u)du=⋯.
定积分是函数的又一重要分析性质（函数的分析性质：连续性、可微性、可导性、可积性）。

参考文献

[1] 陈纪修，于崇华，金路著. 数学分析上册. 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析上册. 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.
[3] 谢惠民，恢自求，易法槐等. 数学分析习题课讲义上册. 北京：高等教育出版社. 2003.7.10.
[4] 常庚哲，史济怀. 数学分析教程上册. 第3版. 合肥：中国科学技术大学出版社. 2012.8.
[5] B. A. 卓里奇. 数学分析第一卷. 第7版. 北京：高等教育出版社.2019.2.

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