【集合论】容斥原理 ( 包含排斥原理 | 示例 )
文章目录
- 一、 容斥原理
- 二、 容斥原理 示例
一、 容斥原理
A1,A2,⋯,AnA_1 , A_2 , \cdots , A_nA1,A2,⋯,An 是 nnn 个集合 ; 则 这 nnn 个集合 并集的元素个数 是 :
∣⋃i=1nAi∣=∑i=1n∣Ai∣−∑i<j∣Ai∩Aj∣+∑i<j<k∣Ai∩Aj∩Ak∣−⋯+(−1)n−1∣A1∩A2∩⋯∩An∣| \bigcup_{i=1}^{n} A_i | = \sum_{i = 1}^n | A_i | - \sum_{i < j} | A_i \cap A_j | + \sum_{i < j < k} | A_i \cap A_j \cap A_k | - \cdots + ( -1 )^{n - 1} | A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap An |∣i=1⋃nAi∣=i=1∑n∣Ai∣−i<j∑∣Ai∩Aj∣+i<j<k∑∣Ai∩Aj∩Ak∣−⋯+(−1)n−1∣A1∩A2∩⋯∩An∣
解析 :
nnn 个集合进行并运算后 , 元素个数 , 通常使用 容斥原理 进行计算 ;
∑i=1n∣Ai∣\sum_{i = 1}^n | A_i |∑i=1n∣Ai∣ : 将每个集合中的 元素个数 相加 , 该值大于 总元素数 , 需要进行修正 ; ( 系数值 (−1)0(-1)^0(−1)0 )
∑i<j∣Ai∩Aj∣\sum_{i < j} | A_i \cap A_j |∑i<j∣Ai∩Aj∣ : 减去两两相交的元素个数 , 该值又小于 总元素数 , 继续进行修正 ; ( 系数值 (−1)1(-1)^1(−1)1 )
∑i<j<k∣Ai∩Aj∩Ak∣\sum_{i < j < k} | A_i \cap A_j \cap A_k |∑i<j<k∣Ai∩Aj∩Ak∣ : 加上三个集合相交的元素个数 , 该值大于 总元素数 , 继续进行修正 ; ( 系数值 (−1)2(-1)^2(−1)2 )
减去四个集合相交的元素个数 , 该值小于 总元素数 , 继续进行修正 ; ( 系数值 (−1)3(-1)^3(−1)3 )
⋮\vdots⋮
(−1)n−1∣A1∩A2∩⋯∩An∣( -1 )^{n - 1} | A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap An |(−1)n−1∣A1∩A2∩⋯∩An∣ : 加上 (−1)n−1( -1 )^{n - 1}(−1)n−1 乘以 n−1n-1n−1 个集合相交的元素个数 ; ( 系数值 (−1)n−1(-1)^{n-1}(−1)n−1 )
上述 奇数个集合 交集元素个数 前系数是 正数 , 偶数个集合 交集元素个数 前系数是 负数 ;
二、 容斥原理 示例
111 ~ 100001000010000 之间 , 既不是某个整数的平方 , 又不是某个整数的立方 , 的数个数 ?
全集 : EEE 集合是全集 , 是 111 到 100001000010000 的自然数 , EEE 集合的个数 ∣E∣=10000|E| = 10000∣E∣=10000
平方对应的数集合 AAA : AAA 集合是 某个数 的平方 对应的 某个数 集合 , A={x∈E∣x=k2∧k∈Z}A = \{ x \in E | x = k^2 \land k \in Z \}A={x∈E∣x=k2∧k∈Z} , AAA 集合元素个数是 ∣100∣|100|∣100∣ ;
1002=10000100^2 = 100001002=10000 , 因此 AAA 集合的元素是 {0,1,2,⋯,100}\{0, 1, 2 , \cdots , 100 \}{0,1,2,⋯,100} , 元素个数有 100100100 个 ; 12,22,33,⋯,10021^2 , 2^2 , 3^3, \cdots ,100^212,22,33,⋯,1002 都在 111 到 100001000010000 之间 , 1012=10201101^2 = 102011012=10201 就超过 100001000010000 了 ;
立方对应的数集合 BBB : BBB 集合是 某个数 的立方 对应的 某个数 集合 , B={x∈E∣x=k3∧k∈Z}B = \{ x \in E | x = k^3 \land k \in Z \}B={x∈E∣x=k3∧k∈Z} , AAA 集合元素个数是 ∣21∣|21|∣21∣ ;
213=926121^3 = 9261213=9261 , 因此 BBB 集合的元素是 {0,1,2,⋯,21}\{0, 1, 2 , \cdots , 21 \}{0,1,2,⋯,21} , 元素个数有 212121 个 ; 13,23,33,⋯,2131^3 , 2^3 , 3^3, \cdots ,21^313,23,33,⋯,213 都在 111 到 100001000010000 之间 , 222=1064822^2 = 10648222=10648 就超过 100001000010000 了 ;
计算 A∩BA \cap BA∩B 集合的交集 CCC : 元素个数 , 既是平方 , 又是立方 , 肯定是六次方的数 , C={x∈E∣x=k6∧k∈Z}C= \{ x \in E | x = k^6 \land k \in Z \}C={x∈E∣x=k6∧k∈Z} , CCC 集合的元素个数是 444 ;
46=40964^6 = 409646=4096 , 因此 CCC 集合的元素是 {1,2,3,4}\{1, 2 , 3, 4\}{1,2,3,4} , 元素个数有 444 个 ; 16,26,36,461^6 , 2^6 , 3^6, 4^616,26,36,46 都在 111 到 100001000010000 之间 , 56=15,6255^6 = 15,62556=15,625 就超过 100001000010000 了 ;
题目可以转化成 : 集合 ZZZ 中 , 既不属于 AAA 集合 , 有不属于 BBB 集合 的数字 ;
集合 AAA 与 集合 BBB 并集是 A∪BA \cup BA∪B
上述并集 的 绝对补集 ∼(A∪B)\sim ( A \cup B )∼(A∪B) 元素个数 ∣∼(A∪B)∣|\sim ( A \cup B ) |∣∼(A∪B)∣ , 就是题目中要求的结果 ;
∣∼(A∪B)∣=∣E∣−∣A∪B∣|\sim ( A \cup B ) | = |E| - |A \cup B|∣∼(A∪B)∣=∣E∣−∣A∪B∣
上述式子中 , ∣E∣=10000|E| = 10000∣E∣=10000 , ∣A∪B∣|A \cup B|∣A∪B∣ 值可以使用 容斥原理 进行计算 ;
∣A∪B∣|A \cup B|∣A∪B∣ 两个集合并集的元素个数 , 可以使用两个集合的元素个数相加 , 然后减去两个集合交集的元素个数 ;
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∪B∣=100+21−4=117|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 100 + 21 - 4 = 117∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∪B∣=100+21−4=117
代入总的公式 : ∣∼(A∪B)∣=∣E∣−∣A∪B∣=10000−117=9883|\sim ( A \cup B ) | = |E| - |A \cup B| = 10000 - 117 = 9883∣∼(A∪B)∣=∣E∣−∣A∪B∣=10000−117=9883
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