HDU 4870 Rating（高斯消元）

HDU 4870 Rating

这是前几天多校的题目，高了好久突然听旁边的大神推出来说是可以用高斯消元，一直喊着赶快敲模板，对于从来没有接触过高斯消元的我来说根本就是一头雾水，无赖之下这几天做DP，正好又做到了这个题，没办法得从头开始看，后来在网上找了别人的高斯消元的模板后发现其实也还是很好理解，就是先构造一个增广矩阵，然后化行阶梯形，最后迭代求解

首先有一个介绍高斯消元感觉过于详细的博客http://blog.csdn.net/tsaid/article/details/7329301

首先看一下这个题怎么构造这个增广矩阵，我们把所有可以达到的分数组合作为一个点，再考虑它与其他点所连的边，例如：

(300, 200)<--(1-p)----(300, 300)-----(p)----->(350, 300)

a b c

我们就可以理解为有一条b--->a的权值为（1-p）的边，有一条b---->c的权值为p的边，那这样首先构造状态转移方程：

DP[b] = 1 + (1-p) * DP[a] + p * DP[c]

变形后得到:

DP[b] - p * DP[c] - (1-p) * DP[a] = 1;

这就是我们的增广矩阵的系数了，对于方程的一般形式Ax = B，可以理解为第b个方程中的变元的系数为A[b][b] = 1, A[b][c] = p, A[b][a] = (1-p),B[b] = 1

这样就构造出了一个（A，B）的一个增广矩阵，保存在a中

然后就是高斯消元化行阶梯行，看看代码很好理解，就只有两个操作r1<-->r2，交换两行，r2 = r2 - r1 * a (其中a为一个常系数)

第一次写Gauss 代码比较戳，可以根据网上详细的介绍结合代码看，很容易懂的

void gauss()
{int col = 0;for(int k=0;k<cnt && col < cnt;k++, col ++){double Max = fabs(a[k][col]);int  Maxr = k;for(int r = k + 1; r < cnt; r ++)if( fabs(a[r][col])  -  Max  >  eps  )Max  =  fabs( a[Maxr = r][col] );if(fabs(Max) < eps)  {  k --;  continue;  }for(int c = col;c<=cnt; c ++ )SWAP(a[Maxr][c],  a[k][c]  );for(int r = k + 1; r < cnt; r ++ ) if( fabs(a[r][col]) > eps  ){double tmp = a[r][col] / a[k][col];for(int c = col; c <= cnt; c ++ )a[r][c] -= tmp * a[k][c];}}
}

化行阶梯行后就是迭代求解了，由于这里一定有解，所以不需要判断无解的情况，直接算就是了

1        for(int r=cnt-1;r>=0;r--)
2         {
3                     for(int c = cnt-1;c>r;c--)
4                             a[r][cnt] -= a[r][c] * ans[c];
5                     ans[r] = a[r][cnt] / a[r][r];
6         }

最后的总复杂度就是O(n^3)n接近200

另外还有一个复杂度O(n)的解法的思路（N=20）http://www.cnblogs.com/gj-Acit/p/3888390.html

  1 #include <map>
  2 #include <set>
  3 #include <stack>
  4 #include <queue>
  5 #include <cmath>
  6 #include <ctime>
  7 #include <vector>
  8 #include <cstdio>
  9 #include <cctype>
 10 #include <cstring>
 11 #include <cstdlib>
 12 #include <iostream>
 13 #include <algorithm>
 14 using namespace std;
 15 #define INF ((LL)100000000000000000)
 16 #define inf (-((LL)1<<40))
 17 #define lson k<<1, L, mid
 18 #define rson k<<1|1, mid+1, R
 19 #define mem0(a) memset(a,0,sizeof(a))
 20 #define mem1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
 21 #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
 22 #define FOPENIN(IN) freopen(IN, "r", stdin)
 23 #define FOPENOUT(OUT) freopen(OUT, "w", stdout)
 24 template<class T> T CMP_MIN ( T a, T b ) { return a < b;   }
 25 template<class T> T CMP_MAX ( T a, T b ) { return a > b;   }
 26 template<class T> T MAX ( T a, T b ) { return a > b ? a : b; }
 27 template<class T> T MIN ( T a, T b ) { return a < b ? a : b; }
 28 template<class T> T GCD ( T a, T b ) { return b ? GCD ( b, a % b ) : a; }
 29 template<class T> T LCM ( T a, T b ) { return a / GCD ( a, b ) * b;       }
 30 template<class T> void SWAP( T& a, T& b ) { T t = a; a = b;  b = t; }
 31
 32 //typedef __int64 LL;
 33 typedef long long LL;
 34 const int MAXN = 255;
 35 const int MAXM = 110000;
 36 const double eps = 1e-12;
 37 int dx[4] = { -1, 0, 0, 1};
 38 int dy[4] = {0, -1, 1, 0};
 39
 40 double p;
 41 int  id[30][30], cnt, N = 20;
 42 double G[400][400], a[300][300], ans[300];
 43 struct NODE
 44 {
 45         int u, d;
 46         NODE(){}
 47         NODE(int _u, int _d):u(_u), d(_d){}
 48 };
 49
 50 void preInit()
 51 {
 52         cnt = 0;
 53         for(int i=0;i<=N-1;i++)
 54         {
 55                 for(int j = 0; j <= i; j ++ )
 56                 {
 57                         id[i][j] = cnt++;
 58                 }
 59         }
 60         id[N][N-1] = cnt ++;
 61 }
 62
 63 void init()
 64 {
 65         preInit();
 66         mem0(G);mem0(a);
 67         for(int i=0;i<=N-1;i++)
 68         {
 69                 for(int j=0;j<=i;j++)
 70                 {
 71                         int nx = MAX(i, j + 1), ny = MIN(i, j + 1);
 72                         G[id[i][j]][id[nx][ny]] = p;
 73                         nx = i; ny = (j- 2) >= 0 ? j-2 : 0;
 74                         G[id[i][j]][id[nx][ny]] = 1-p;
 75                 }
 76         }
 77         for ( int i = 0; i < cnt; i++ )
 78         {
 79                 a[i][i] = a[i][cnt] = 1.0;
 80                 if ( i == cnt-1 ) { a[i][cnt] = 0; }
 81                 for ( int j = 0; j < cnt; j++ ) if ( fabs ( G[i][j] ) > eps )
 82                             a[i][j] -= G[i][j];
 83         }
 84 }
 85
 86
 87 void gauss()
 88 {
 89         int col = 0;
 90         for(int k=0;k<cnt && col < cnt;k++, col ++)
 91         {
 92                     double Max = fabs(a[k][col]);
 93                     int  Maxr = k;
 94                     for(int r = k + 1; r < cnt; r ++)
 95                             if( fabs(a[r][col])  -  Max  >  eps  )
 96                                     Max  =  fabs( a[Maxr = r][col] );
 97                     if(fabs(Max) < eps)  {  k --;  continue;  }
 98                     for(int c = col;c<=cnt; c ++ )
 99                             SWAP(a[Maxr][c],  a[k][c]  );
100                     for(int r = k + 1; r < cnt; r ++ ) if( fabs(a[r][col]) > eps  )
101                     {
102                             double tmp = a[r][col] / a[k][col];
103                             for(int c = col; c <= cnt; c ++ )
104                                     a[r][c] -= tmp * a[k][c];
105                     }
106         }
107         for(int r=cnt-1;r>=0;r--)
108         {
109                     for(int c = cnt-1;c>r;c--)
110                             a[r][cnt] -= a[r][c] * ans[c];
111                     ans[r] = a[r][cnt] / a[r][r];
112         }
113 }
114
115 int main()
116 {
117 //        FOPENIN ( "in.txt" );
118 //       FOPENOUT("out.txt");
119         while ( ~scanf ( "%lf", &p ) )
120         {
121                 init();
122                gauss();
123                 printf("%.9lf\n", ans[0]);
124         }
125         return 0;
126 }

转载于:https://www.cnblogs.com/gj-Acit/p/3888382.html

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