算法导论读书笔记第4章分治策略

在第2章中，归并排序算法使用了分治策略。即在分治策略中，递归地求解一个问题，在每层递归中应包含三个步骤：

分解(Divide)步骤将问题画分为一些子问题，子问题的形式与原问题一样，只是规模更小。

解决(Conquer)步骤递归地求解出子问题。如果子问题的规模足够小，则停止递归，直接求解。

合并(Combine)步骤将子问题的解组合成原问题的解。

当子问题足够大时，需要递归求解时，我们称之为递归情况(recursive case)。当子问题变得足够小，不需要在递归时，此时已进入基本情况(base case)。有时，除了与原问题形式完全一样的规模更小的子问题外，还需求解与原问题不完全一样的子问题，但这种情况可以看做是合并步骤的一部分。本章中会看到两个基于分治策略的算法。其中一个是求解最大子数组问题，其输入是一个数值数组，算法需要确定有最大和的连续子数组。

递归式

递归式是与分治法紧密相关的，因为递归式子可以很自然地刻画分治算法的运行时间。一个递归时就是一个等式或不等式，它通过更小的输入上的函数值来描述一个函数。用递归式描述MERGE-SORT过程的最坏运行时间为T(n)：

求解可得T(n) = O(nlgn)。

4.1 最大子数组问题

最大子数组问是指需找数组中和最大的非空连续子数组，称这样的子数组为最大子数组(maximum subarray)。如下图数组A中，A[1.. 16]的最大子数组为A[8.. 11]，其和为43。

最大子数组中只有包含负数时才有意义，如果所有数组元素都是非负的，最大子数组问题没有任何难度，以为整个数组的和可定是最大的。

使用分治策略求解最大子数组问题

假定要寻找子数组A[low.. high]的最大子数组。使用分治策略意味着要将数组划分为两个规模尽量相等的子数组。即找到子数组的中央位置，比如mid，然后考虑求解两个子数组A[low.. mid]和A[mid + 1.. high]。如下图所示，A[low.. high]的任意连续子数组A[i.. j]所处的位置必然是如下三种情况之一：

1 完全位于子数组A[low.. mid]中，因此 low <= i <= j <= mid

2 完全位于子数组A[mid + 1, high]中，因此 mid < i <= j <= high

3 跨越了中点，因此low <= i <= mid < j <=high

因此，A[low.. high]的最大子数组所处的位置必然是这三种情况之一。通过调用FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY接受数组A和下标low，mid和high为输入，返回一个下标元组划定跨越中点的最大子数组的边界，并返回最大子数组中的和。为代码如下：（-INT_MAX表示负的无穷大）

Find-Max-Crossing-SUBARRAY(A, low, mid, high):left-sum = -INT_MAXsum = 0for i =mid downto low:sum = sum + A[i]if sum > left-sum:left-sum = summax-left = iright-sum = -INT_MAXsum = 0max-right = 0for j = mid + 1 to highsum = sum + A[j]if sum > right-sum:right-sum = summax-right = jreturn (max-left, max-right, left-sum + right-sum)

（由于伪代码中返回值时有多个参数，突然不知道用c/c++语言怎么实现，故采用python语言实现。欢迎各位高手用c/c++语言实现该算法）采用python代码实现的完整程序为：

def findMaxCrossingSubArray(A, low, mid, high):leftSum = -65536sum2 = 0maxLeft = 0for i in range(mid, low, -1):sum2 = sum2 + A[i]if sum2 > leftSum:leftSum = sum2maxLeft = irightSum = -65536sum2 = 0maxRight = 0for j in range(mid+1, high):sum2 = sum2 + A[j]if sum2 > rightSum:rightSum = sum2maxRight = jreturn maxLeft, maxRight, leftSum + rightSum

FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY的运行时间为线性时间，则最大子数组问题的分治法算法的伪代码如下：

FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A, low, high)
1     if high == low
2         return(low, high, A[low])
3     else mid = (low + high) / 2
4         (left-low, left-high, left-sum) = FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A, low, mid)
5         (right-low, right-high, right-sum) = FIIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A, mid+1, high)
6         (cross-low, cross-high, cross-sum) = FIND-MAXMUM-SUBARRAY(A, low, mid, higt)
7        if left-sum>=right-sum and left-sum >= cross-num
8                    return (left-low, left-high, left-sum)
9        elseif right-sum >= left-sum and rigth-sum >=cross-sum
10                  return(right-low, right-high, right-sum)
11       else return (cross-low, cross-high, cross-sum)

初始调用FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A, 1, A.Length)会求出A[1.. n]的最大子数组。

pyhton语言实现的完整程序为：

def findMaximumSubArrary(A, low, high):if high == low:return low, high, A[low]else:mid = (low + high) / 2leftLow, leftHigh, leftSum = findMaximumSubArrary(A, low, mid)rightLow, rightHigh, rightSum = findMaximumSubArrary(A, mid + 1, high)crossLow, crossHigh, crossSum = findMaxCrossingSubArray(A, low, mid, high)if leftSum>=rightSum and leftSum>=crossSum:return leftLow, leftHigh, leftSumelif rightSum>=leftSum and rightSum>=crossSum:return rightLow, rightHigh, rightSumelse:return crossLow, crossHigh, crossSum

寻找最大子数组的递归式与归并排序的递归式是相同的，故算法时间复杂度为O(nlgn)。

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