AHP层次分析法

判断矩阵一致性检验:

第一步:计算一致性指标CI（consistency indicator）

当前判断矩阵的最大特征值λmax\lambda _{max}λmax-一致矩阵的最大特征值nnn(可证明)。
CI=λmax⁡−nn−1CI=\frac{{\lambda _{\max} - n}}{{n - 1}} CI=n−1λmax−n

第二步:查找对应的平均随机一致性指标RI(表格不列出)

第三步:计算一致性比例CR(consistency ratio)

CR=CIRICR=\frac{CI}{RI} CR=RICI

如果CR<0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。

一致矩阵计算权重

权重归一化处理：

在一致矩阵中，随机选取一列（第一列，因为成比例），某一行的值/列值的总和。得到这一行的权重。

1.算数平均法求权重(非一致矩阵)

第一步:将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)=>nxn矩阵

第二步:将归一化的各列相加(按列求和)=>n维列向量

第三步:将相加后得到的向量中每个元素除以n可得到对应元素的权重向量

假设判断矩阵为:
[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann]\left[ {\begin{matrix} {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & \cdots & {{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & \cdots & {{a_{2n}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a_{n1}}} & {{a_{n2}}} & \cdots & {{a_{nn}}} \\ \end{matrix}} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎤
通过算术平均法求得相应的权重向量为:ωi\omega_iωi

ωi=1n∑j=1naij∑k=1nakj{\omega _i} = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{{a_{ij}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}} }}} ωi=n1j=1∑nk=1∑nakjaij

2.几何平均法求权重（几何平均值≤\le≤算数平均值）

第一步

3.特征值法求权重(使用最多)

在一致矩阵中,最大特征值为n,其余为0。其最大特征值对应的特征向量为:
a⃗=(1a11+1a12+1a13+...+1a1n)\vec{a}=(\frac{1}{{{a_{11}}}} + \frac{1}{{{a_{12}}}} + \frac{1}{{{a_{13}}}} + ... + \frac{1}{{{a_{1n}}}}) a=(a111+a121+a131+...+a1n1)
由于是正互反矩阵，其实就是此判断矩阵的第一列（注：只在一致矩阵中有效）。将第一列归一化得出权重。

于是，在非一致判断矩阵重，算出其最大特征值和其对应的特征向量（不能用矩阵第一列），将特征向量归一化得出权重。

4.层次结构图的制作

论文中要有如下层次结构图：

1.SmartArt生成

PPt中将每一块按行排放，将每一层的数据提高列表等级，全选后转换为SmartArt组织结构图。

2.亿图图示

论文相关步骤：

1.先构造层次结构图

2.构造判断矩阵（多个）

理想：采用专家群体判断

现实：几乎都是自己填的

3.计算权重并进行一致性检验（检验通过权重能用，最好先一致性检验）

用三种方法计算权重：

（1）算术平均法（2）几何平均法（3）特征值法

论文中建议用3种方法，分别求出权重得分。

在论文中添加以下内容：

以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一中方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重，再根据得到的权重矩阵计算个方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

一致性检验的步骤在上述已经给出。

4.计算出各层元素对系统目标的合成权重，并排序

局限性：

1.评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。

平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15.

2.如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价更加准确呢？

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