数组树/fenwicktree/Binary Indexed Tree

在解类似 leetcode 307题区域和检索 - 数组可修改的题时，我们可以使用一种比较小众的数据结构，数组树。

数组树的结构依托于数组，它的结构看起来类似下面这种：

1，2，3。。。。代表他们在数组中的位置，在了解为什么有这种数据结构之前，请务必先看看上面提到的leetcode 307题。

在数组树中有两个主要的操作函数更新和查询。在更新数组中的某一个位置的数值的时候，其所有祖先节点全部都要更新，比如节点1更新，则2，4，8节点全部都要更新，更新的方式为当前节点的值加上子节点或自身更新后增加的值，比如现在节点1的值变为1，相对于原来的0值增加了1，则1，2，4，8的值都变为1；节点2的值变为4，相对于原来的0值增加了4，则2，4，8的值变为5。这种更新方式实际上是要在数组树中维护这样一个关系，节点值为sum(child.val) + self.val。

如果要更新数组树，那么必须找到更新的节点的所有祖先节点，计算方法为 i += lowbit(i)；lowbit()的意思为数的二进制从最低位往高位计算，到第一个为1的位置，这之间的所有的二进制构成的数，比如1(b0001)的lowbit为(b0001)，相加为2(b0010)，2的lowbit为(b0010)相加为4(b0100)。lowbit的计算公式为lowbit(x) = x & (-x)；以5为例,x = 5 = b0110 ，-x = ~x + 1 = b1010，lowbit(5) = 0010；

以上就是就是数组树的更新过程，如果要查询数组树，也就是获得前i个数组元素的和为多少时，毕竟这才是我们的目的，这时就需要用到另一种计算节点的方式。经过上面数组树更新方式的描述，我们可以很清楚的知道4存放了1,2,3,4的和，6存放了5,6的和，8存放了所有值的和，如果要计算前7个数的和，可想而知是要将数组树中4,6,7节点值相加。这实际上也有一个计算公式，i -= lowbit(i)；它看起来就像下面这样。

这就是leetcode 307题所需要的数据结构，现在我们使用这个数据结构将这一题解决。在做题过程中一定要注意fenwicktree的下标是从1开始的。并且更新过程中传入的是相对于原来该元素增加的值。

class NumArray {FenwickTree tree;int[] nums;public NumArray(int[] nums) {tree =  new FenwickTree(nums.length + 1);this.nums = nums;for(int i = 0; i < nums.length; i++){tree.update(i + 1, nums[i]);}}public void update(int i, int val) {tree.update(i + 1, val - nums[i]);nums[i] = val;}public int sumRange(int i, int j) {return tree.query(j + 1) - tree.query(i);}
}class FenwickTree{int[] sums;public FenwickTree(int n){sums = new int[n];}public void update(int i, int delta){while(i < sums.length){sums[i] += delta;i += lowbit(i);}}public int query(int i){int sum = 0;while(i > 0){sum += sums[i];i -= lowbit(i);}return sum;}private int lowbit(int i){return i&-i;}
}

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