树状数组(Binary Index Tree)
树状数组(Binary Index Tree, BIT)是用用数组来模拟树形结构。最简单的树状数组支持两种操作,时间复杂度均为 O ( log n ) O(\log n) O(logn):
- 单点修改:更改数组中一个元素的值
- 区间查询:查询一个区间内所有元素的和
数组的构建:
int[] tree = new int[len];
求前n项和:
求和时需要如此计算SUM_i=C[i]+C[i-2^(k1)]+C[i-2^(k1)-2^(k2)]+···
,那么2^k
应该通过i&(-i)
。求和就是不断地去掉二进制数最右边的一个1的过程。
public int query(int n) {int res = 0;for (int i = n; i > 0; i -= lowbit(i)) res += tree[i];
}
以计算前7项的和为例,最终结果会依次将C[7]
、C[6]
、C[4]
求和。
为什么使用
i&(-i)
替代2^k
呢?这里利用的负数的存储特性,负数是以补码存储的,对于整数运算
x&(-x)
有:
- 当
x
为0时,0&0=0
- 当
x
为奇数时,最后一个比特位为1
,取反加1没有进位,故x
和-x
除最后一位外前面的位正好相反,按位与结果为0
。结果为1
。- 当
x
为偶数,且为2
的m
次方时,x
的二进制表示中只有一位是1
(从右往左的第m+1
位),其右边有m
位0
,故x
取反加1
后,从右到左第有m
个0,第m+1
位及其左边全是1
。这样,x&(-x)
得到的就是x
。- 当
x
为偶数,却不为2
的m
次方的形式时,可以写作x=y*(2^k)
,y
的最低位为1
,x
就是一个奇数左移k
位来表示。这时,x
的二进制表示最右边有k
个0
,从右往左第k+1
位为1
。当对x
取反时,最右边的k
位0
变成1
,第k+1
位变为0
;再加1
,最右边的k
位就又变成了0
,第k+1位因为进位的关系变成了1
。左边的位因为没有进位,正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与,得到:第k+1
位上为1,左边右边都为0
。结果为2^k
。总结一下:
x&(-x)
,当x
为0
时结果为0
;x
为奇数时,结果为1
;x
为偶数时,结果为x
中2
的最大次方的因子。public int lowbit(int x) {return x & -x; }
区间求和:
public int query(int a, int b) {return query(b) - query(a - 1);
}
单点修改:
public void update(int p, int v) {for (int i = p; i < len; i += lowbit(i)) tree[i] += v;
}
下面针对775. 全局倒置与局部倒置问题使用树状数组进行解决:
class Solution {public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {int len = nums.length;int l = 0, g = 0;// localfor (int i = 1; i < len; i++) {if (nums[i - 1] > nums[i]) {l++;}}// globalint[] tree = new int[len + 1];for (int i = 1; i <= len; i++) {update(tree, nums[i - 1] + 1, 1);g += i - query(tree, nums[i - 1] + 1);}return l == g;}public int lowbit(int x) {return x & -x;}public void update(int[] tree, int p, int v) {for (int i = p; i < tree.length; i += lowbit(i)) {tree[i] += v;}}public int query(int[] tree, int n) {int ans = 0;for (int i = n; i > 0; i -= lowbit(i)) {ans += tree[i];}return ans;}}
参考文献:
- 算法学习笔记(2) : 树状数组
- 树状数组详解
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