1.“树状数组”数据结构的一种应用

对含有n个元素的数组(a[1],...,a[k],...,a[n])：

(1)求出第i个到第j个元素的和，sum=a[i]+...+a[j]。

进行j-i+1次加法，复杂度为O(j-i+1)

(2)任意修改其中某个元素的值。

使用数组下标可以直接定位修改，时间复杂度为O(1)

对于同时支持上述两种操作的系统中，求和操作(1)求任意连续个数组元素和的平均时间复杂度为O(n)，修改操作(2)时间复杂度是O(1)。如果系统中大量进行上述两种操作m次，其中执行操作(1)概率1/p，操作(2)概率1-1/p，则系统时间复杂度为：

可以使用树状数组使得上述两种操作的时间复杂度为O(m*logn)。

2.树状数组介绍

核心思想：

(1)树状数组中的每个元素是原数组中一个或者多个连续元素的和。

(2)在进行连续求和操作a[1]+...+a[n]时，只需要将树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)

(3)在进行修改某个元素a[i]时，只需要修改树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)

下图就是一个树状数组的示意图：

解释如下：

1)　a[]: 保存原始数据的数组。(操作(1)求其中连续多个数的和，操作(2)任意修改其中一个元素)

e[]: 树状数组，其中的任意一个元素e[i]可能是一个或者多个a数组中元素的和。如e[2]=a[1]+a[2]; e[3]=a[3]; e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]。

2) e[i]是几个a数组中的元素的和？

如果数字 i 的二进制表示中末尾有k个连续的0，则e[i]是a数组中2^k个元素的和，则e[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+...+a[i-1]+a[i]。

如：4=100(2)　　e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

6=110(2)　　e[6]=a[5]+a[6]

7=111(2)　　e[7]=a[7]

3)　后继：可以理解为节点的父亲节点。是离它最近的，且编号末位连续0比它多的就是它的父亲,如e[2]是e[1]的后继；e[4]是e[2]的后继。

如e[4] = e[2]+e[3]+a[4]= a[1]+a[2]+a[3]+a[4] ，e[2]、e[3]的后继就是e[4]。

后继主要是用来计算e数组，将当前已经计算出的e[i]添加到他们后继中。

前驱：节点前驱的编号即为比自己小的，最近的，最末连续0比自己多的节点。如e[7]的前驱是e[6],e[6]的前驱是e[4]。

前驱主要是在计算连续和时，避免重复添加元素。

如：Sum(7)=a[1]+...+a[7]=e[7]+e[6]+e[4]。(e[7]的前驱是e[6], e[6]的前驱是e[4])

计算前驱与后继：

lowbit(i) = ( (i-1) ^ i) & i ;

节点e[i]的前驱为 e[ i - lowbit(i) ]；

节点e[i]的前驱为 e[ i + lowbit(i) ]

3.树状数组代码示例

1 #include

2 #include

3

4 using namespacestd;5

6 int input(int*,int*,int); ///输入数据

7 int calStageSum(int*,int); ///计算树状数组

8 int getSum(int*,int); ///求出前n个数字的和

9 int updataElement(int*,int*,int,int,int); ///更新某一位置上的元素

10

11 intmain (){12 intn;13 intnewValue;14 cout<3) :";15 cin>>n;16

17 int *num = new int[n+1];18 int *sum = new int[n+1];19

20 cout<

24 cout<

26 cout<>newValue;28 updataElement(sum,num,n,2,newValue);29

30 cout<

32 delete []num;33 delete []sum;34 return 0;35 }36

37 int input(int* num,int *sum,intn){38 for(int i=1;i<=n;i++){39 cin>>num[i];40 sum[i] =num[i];41 }42 return 0;43 }44

45 int calStageSum(int *sum,intn){46 intlowbit;47 intpar;48 for(int i=1;i<=n;i++){49 lowbit = ((i-1)^i)&i;50 par = lowbit+i; ///后继节点id

51 if(par <=n){52 sum[par] = sum[par] +sum[i];53 }54 }55 return 0;56 }57

58 int getSum(int* sum,intn){59 int sumPreN = 0;60 int lowbit = 0;61 while(n!=0){62 sumPreN +=sum[n];63 lowbit = ((n-1)^n)&n;64 n = n - lowbit; ///前驱节点id

65 }66 returnsumPreN;67 }68

69 int updataElement(int* sum,int *num,int n,int pos,intnewvalue){70 int lowbit = 0;71 int dis = newvalue -num[pos];72 num[pos] =newvalue;73 sum[pos] = sum[pos]+dis;74

75 while(true){76 lowbit = ((pos-1)^pos)&pos;77 pos = pos + lowbit; ///后继节点id

78 if(pos <=n){79 sum[pos] = sum[pos]+dis;80 }81 else

82 break;83 }84 return 0;85 }

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