C++---数字三角形模型---最低通行费（每日一道算法2023.1.14）

注意事项：
本题为线性dp—数字三角形的扩展题。

题目：
一个商人穿过一个 N×N 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。
他要从网格的左上角进，右下角出。
每穿越中间 1 个小方格，都要花费 1 个单位时间。
商人必须在 (2N−1) 个单位时间穿越出去。
而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。
这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。
请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式
第一行是一个整数，表示正方形的宽度 N。
后面 N 行，每行 N 个不大于 100 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式
输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围
1≤N≤100

输入:
5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出：
109

#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int a[N][N], f[N][N];int main()
{//读入cin >> n;for (int i = 1; i<=n; i++) {for (int j = 1; j<=n; j++) cin >> a[i][j];}//初始化DP数组f,使每个元素为最大值,以便后面的计算时比较得出较小的费用for (int i = 0; i<=n; i++) memset(f[i], 0x3f3f3f3f, sizeof f[i]);  //线性DPfor (int i = 1; i<=n; i++) {for (int j = 1; j<=n; j++) {if (i == 1 && j == 1) f[1][1] = a[1][1];  //第一个点的费用赋值else {//如果i>1,则可以从上面走过来,比较上面的路径费用和当前路径费用的大小,并取较小值if (i > 1) f[i][j] = min(f[i-1][j] + a[i][j], f[i][j]);//如果j>1,则可以从左面走过来,比较左面的路径费用和当前路径费用的大小,并取较小值if (j > 1) f[i][j] = min(f[i][j-1] + a[i][j], f[i][j]);}}}cout << f[n][n] << endl;  //输出最小费用return 0;
}

思路：
经典的线性dp问题，y式dp分析即可

1.状态表示
f[i][j] 表示从起始点到（i, j）点的所有方案费用，属性为Min

2.状态计算
由于有步数限制（2N-1），意味着我们只能从起始点向下或者向右移动，那么在进行dp计算时，对于点（i，j）我们是从这个点的上方和左侧来进行计算，也就是：
f[i][j] = Min(f[i-1][j]，f[i][j-1]) + a[i][j]
代码中根据这个来进行一定的小调整即可

声明：
算法思路来源为y总，详细请见https://www.acwing.com/
本文仅用作学习记录和交流

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