【数据结构】自动机全家桶(AC、回文、后缀自动机)

自动机全家桶

前言
一、AC自动机
- 1.优秀博客链接
- 2.问题模板
- 3.使用
- 4.本质
- 5.运用
- 6.代码模板
二、回文自动机(回文树)
- 1.优秀博客链接
- 2.问题模板
- 3.使用
- 4.本质
- 5.运用
- 6.代码模板
三、后缀自动机(SAM)
- 1.优秀博客链接
- 2.问题模板
- 3.使用
- 4.本质
- 5.运用
- 6.代码模板

前言

在笔者平时的习题中，遇到了很多的比较复杂的字符串题目，而通常来说数据结构中的各种自动机是我们处理字符串题目的各种工具。由于笔者在学习了这些自动机之后对于每一种自动机的区别和使用范围，因此写下本篇博客用于整理自动机学习中的感悟和经验。

在学习自动机之前，有不少的前置知识点，如KMP、字典树Trie，如果是发现本篇博客中出现了无法理解的地方，可能需要考虑是否需要学习这些前置知识。

本篇博客中的代码模板仅供参考，笔者虽然都是用这些模板通过过一些题目，但仍然有出错的可能性，如有发现，欢迎指正 : )

一、AC自动机

1.优秀博客链接

AC自动机（详解）

AC自动机算法详解(图解)及模板

2.问题模板

在一个很长的文本串T中，寻找S1~Sn字符串出现的次数

3.使用

对S1~Sn字符串建立自动机，用T逐字符进入状态机匹配

4.本质

带fail失配数组的字典树

5.运用

1）处理多个字符串的某种特征
2）寻找若干个有某种特征的字符串，通常特征字符串有相应的前缀 = 后缀
3）两组字符串间的匹配可以先分别建立两个自动机，然后用DFS函数同时遍历
4）AC自动机使用了Trie中闲置的空间建立失配连接，实际运用中需要注意区分实边和失配虚边
5）AC自动机同时拥有部分图和树的性质，解决问题的时候可以考虑灵活运用。同时可以结合图论算法和树论算法，如树上DP，DFS BFS搜索。

6.代码模板

喜闻乐见的板子环节

int tr[N][26], id;      // TRIE
int cnt[N];                //标记字符串结尾
int fail[N];             // fail指针void insert(string s)
{      //插入模式串int p = 0;for (int i = 0; i<s.size(); i++){int k = s[i] - 'a';if (!tr[p][k])tr[p][k] = ++id;p = tr[p][k];}cnt[p]++;
}
void build()
{queue<int> q;memset(fail, 0, sizeof(fail));for (int i = 0; i < 26; i++)if (tr[0][i])q.push(tr[0][i]);//首字符入队//不直接将0入队是为了避免指向自己while (!q.empty()){int k = q.front();q.pop();      //当前结点for (int i = 0; i < 26; i++){if (tr[k][i]){fail[tr[k][i]] = tr[fail[k]][i];      //构建当前的fail指针q.push(tr[k][i]);                     //入队}elsetr[k][i] = tr[fail[k]][i];//匹配到空字符，则索引到父节点fail指针对应的字符，以供后续指针的构建//类似并差集的路径压缩，把不存在的tr[k][i]全部指向tr[fail[k]][i]//这句话在后面匹配主串的时候也能帮助跳转}}
}
int query(string t)
{int p = 0, res = 0;for (int i = 0; i<t.size(); i++){p = tr[p][t[i] - 'a'];for (int j = p; j && ~cnt[j]; j = fail[j])res += cnt[j], cnt[j] = -1;}return res;
}

二、回文自动机(回文树)

1.优秀博客链接

Palindromic Tree——回文树【处理一类回文串问题的强力工具】
回文自动机专题

2.问题模板

求解一个或多个字符串中有关回文串种类和数量的各种问题

3.使用

对给定的字符串S建立自动机，然后根据遍历自动机来得到想要的各种信息

4.本质

一个特殊的Trie，但和Trie存在一定的区别，但根结点下有两个子节点，分别代表奇/偶数回文串，每一个结点都代表在父节点串的左右各添加一个字母

5.运用

1）求前缀S[0~i]中本质不同的回文串个数
2）S中每一种回文串出现的次数
3）求S中回文串总数
4）以下标i结尾的回文串个数
5）处理多个串的相同回文串数量时，可以写成S1 + '#' + S2 +...+ '#' + Sn连接成一个字符串放入自动机

6.代码模板

struct Trie
{static const int MAXN = 28;int nxt[N][MAXN], f[N], cnt[N], num[N], len[N], c[N], last, n, L;string nows[N];int newnode(int x){for (int i = 0; i < MAXN; ++i)nxt[L][i] = 0;cnt[L] = num[L] = 0;len[L] = x;return L++;}void init(){L = 0;newnode(0);newnode(-1);last = 0;n = 0;c[n] = -1;f[0] = 1;}int getf(int x){while (c[n - len[x] - 1] != c[n])x = f[x];return x;}void add(int x){x -= 'a';c[++n] = x;//c[i]表示第i次添加的字符int cur = getf(last);if (!nxt[cur][x]){int now = newnode(len[cur] + 2);f[now] = nxt[getf(f[cur])][x];nxt[cur][x] = now;num[now] = num[f[now]] + 1;}++cnt[last = nxt[cur][x]];}int gettypecount()      //回文串种类数{return L - 2;}void count(){for (int i = L - 1; i >= 2; --i)cnt[f[i]] += cnt[i];}void undo(){for (int i = 2; i <= L - 1; i++)cnt[f[i]] -= cnt[i];}void printcount()      //打印每一种回文串的数量{count();for (int i = 2; i < L; i++)cout << cnt[i] << ' ';cout << endl;undo();}void insertStr(string s)      //插入一个字符串{for (int i = 0; i < s.size(); i++)add(s[i]);}
} PT;

三、后缀自动机(SAM)

1.优秀博客链接

史上最通俗的后缀自动机详解先看这篇准没错
学习笔记后缀自动机
【学习笔记】后缀自动机SAM
【算法与数据结构】——后缀自动机

2.问题模板

解决一个字符串S（尤其是S的子串）的匹配问题

3.使用

对S建立自动机，之后可以通过遍历自动机来得到各种子串的信息

4.本质

用优化的手段建立一个Trie，其本质上是对S的所有的后缀字符串建立一个字典树，然后进行优化空间。同时保证从根结点出发无返回的遍历到自动机上的任意一点都是S中的子串。

5.运用

有点多，似乎很多题目都可以通过SAM来解决，这里也只介绍几个经典的用法，具体还是要花时间理解SAM的具体结构和逻辑含义。
1）判断一个串是不是S的子串
2）求解S中子串的种类数
3）求解两个字符串的最长公共子串

6.代码模板

int tot = 1, last = 1;
struct Node
{int len = 0, fa = 0; //len表示以该点为结尾的最长串长度int ch[26] = { 0 };
} node[N];
char str[N];
long long num[N];      // num数组代表子串出现次数
int h[N], e[N], ne[N], idx = 1;void extend(int c)
{int p = last, np = last = ++tot;num[tot] = 1;node[np].len = node[p].len + 1;for (; p && !node[p].ch[c]; p = node[p].fa)node[p].ch[c] = np;if (!p)node[np].fa = 1;else{int q = node[p].ch[c];if (node[q].len == node[p].len + 1)node[np].fa = q;else{int nq = ++tot;node[nq] = node[q], node[nq].len = node[p].len + 1;node[q].fa = node[np].fa = nq;for (; p && node[p].ch[c] == q; p = node[p].fa)node[p].ch[c] = nq;}}
}void add(int a, int b)
{e[++idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx;
}void dfs1(int x)      //求每个集合中的子串的出现次数(每个点代表的集合中的所有子串出现的次数是相同的)
{for (int i = h[x]; ~i; i = ne[i]){dfs1(e[i]);num[x] += num[e[i]];}
}long long tynum;
void dfs2(int x)      //求子串种类数
{for (int i = h[x]; ~i; i = ne[i]){tynum += node[i].len - (node[node[i].fa].len + 1) + 1;dfs2(e[i]);}
}void querysub(int l, int r)      //对子串建立自动机
{for (int i = 0; i <= idx; i++)h[i] = -1, e[i] = ne[i] = 0;for (int i = 1; i <= tot; i++){auto& te = node[i];te.len = te.fa = 0;mem(te.ch, 0);}idx = 1;tot = last = 1;tynum = 0;for (int i = l - 1; i < r; i++)extend(str[i] - 'a');for (int i = 2; i <= tot; i++)      //绿边倒转建树add(node[i].fa, i);dfs1(1);      //出现的次数dfs2(1);      //子串的子串种类数
}int getcount(string s)      //某个字符串出现的次数
{int p = 1;for (int i = 0; i < s.size(); i++){int id = s[i] - 'a';if (!node[p].ch[id])return -1;elsep = node[p].ch[id];}return num[p];
}int lcs(string str)      //求最长公共子串
{int ans = 0, t = 0;int len = str.size();int p = 1;for (int i = 0; i < len; i++){int x = str[i] - 'a';if (node[p].ch[x]){p = node[p].ch[x];t++;}else{while (p && !node[p].ch[x])p = node[p].fa;if (p == 0){p = 1;t = 0;}else{t = node[p].len + 1;p = node[p].ch[x];}}ans = max(ans, t);}return ans;
}
void solve()
{mem(h, -1);scanf("%s", str);int q;scanf("%d", &q);while (q--){int le, ri;scanf("%d%d", &le, &ri);querysub(le, ri);printf("%lld\n", tynum);}
}

更多自动机未完待续…

作者：Avalon Demerzel