C++信息学奥赛题目归类：2007-2018年初赛普及组问题求解

2007

题目一

（子集划分）将n个数（1，2，…，n）划分成r个子集。每个数都恰好属于一个子集，任何两个不同的子集没有共同的数，也没有空集。将不同划分方法的总数记为S(n,r)。例如，S(4,2)=7，这7种不同的划分方法依次为{(1),(234)}，{(2),(134)}，{(3),(124)}，{(4),(123)}，{(12),(34)}，{(13),(24)}，{(14),(23)}。当n=6，r=3时，S(6,3)=______________。（提示：先固定一个数，对于其余的5个数考虑S(5,3)与S(5,2)，再分这两种情况对原固定的数进行分析。）

求解思路: 将n个数划分成k个子集，表示成：S(n , k）,其中n代表了数字的个数，k代表了子集的个数。
这个题的提示是让你按照递归调用的方式去思考的
所以S(n,k) = S(n-1,k-1) + k*S(n-1,k)
答案：90

题目二

（最短路线）某城市的街道是一个很规整的矩形网络（见下图），有7条南北向的纵街，5条东西向的横街。现要从西南角的A走到东北角的B，最短的走法共有多少种？

求解思路:可以发现从西南到东北角最短要走10条短线,而且其中必有4条为竖线,从10条短线中选出4条作为路线中的竖线,也就确定了整条线路,所以一共有C10,4=210种路线（从10条线中选出6条横线一样）
答案：210

2008

题目一

书架上有4本不同的书A、B、C、D。其中A和B是红皮的，C和D是黑皮的。把这4本书摆在书架上，满足所有黑皮的书都排在一起的摆法有_____种。满足 A必须比C靠左，所有红皮的书要摆放在一起，所有黑皮的书要摆放在一起，共有______种摆法。

求解思路:第一步：把2本黑色的书当成一个整体,和其他两本书全排列,就是P（3,3）=6；第二步：由于2本黑色的书是不同的书,所以这2本是可以交换位置的,再乘上一个2.
所以就是P（3,3）×2=12
由于“A必须在C左边”,而且同颜色的还要在一起,所以就只能是两个红色的在左边,两个黑色的在右边.
所以就是P(2,2)×P(2,2)=4
答案：12 4

题目二

有6个城市，任何两个城市之间都有一条道路连接，6个城市两两之间的距离如下表所示，则城市1到城市6的最短距离为_____________。

求解思路:城市顺序为1-2-5-6
答案：7

2009

题目一

小陈现有2个任务A，B要完成，每个任务分别有若干步骤如下：A=a1->a2->a3，B=b1->b2->b3->b4->b5。在任何时候，小陈只能专心做某个任务的一个步骤。但是如果愿意，他可以在做完手中任务的当前步骤后，切换至另一个任务，从上次此任务第一个未做的步骤继续。每个任务的步骤顺序不能打乱，例如……a2->b2->a3->b3……是合法的，而……a2->b3->a3->b2……是不合法的。小陈从B任务的b1步骤开始做，当恰做完某个任务的某个步骤后，就停工回家吃饭了。当他回来时，只记得自己已经完成了整个任务A，其他的都忘了。试计算小陈饭前已做的可能的任务步骤序列共有[ ]种。

求解思路:
先选出了b1———a1———a2———a3
然后依次把b2，b2和b3，b2和b3和b4,…向里面插。并且满足bi的位置要<=bj (i<j)

答案：70

题目二

1.   a=1;
2.  b=a;
3.  d=-a;
4.  e=a+d;
5.  c=2*d;
6.  f=b+e-d;
7.  g=a*f+c;

现在要把这段程序分配到若干台（数量充足）用电缆连接的PC上做并行执行。每台PC执行其中的某几个语句，并可随时通过电缆与其他PC通讯，交换一些中间结果。假设每台PC每单位时间可以执行一个语句，且通讯花费的时间不计。则这段程序最快可以在[ ]单位时间内执行完毕。

注意：任意中间结果只有在某台PC上已经得到，才可以被其他PC引用。例如若语句4和6被分别分配到两台PC上执行，则因为语句6需要引用语句4的计算结果，语句6必须在语句4之后执行。

求解思路:
可以画出一个拓扑图

1——2——4——6——7
——3——
————5——

第一时间1，第二时间2和3，第三时间4和5，第四时间6，第五时间7。

答案：5

2010

题目一

LZW编码是一种自适应词典编码。在编码的过程中，开始时只有一部基础构造元素的编码词典，如果在编码的过程中遇到一个新的词条，则该词条及一个新的编码会被追加到词典中，并用于后继信息的编码。

举例说明，考虑一个待编码的信息串：“xyx yy yy xyx”。初始词典只有3个条目，第一个为x，编码为1；第二个为y，编码为2；第三个为空格，编码为3；于是串"xyx"的编码为1-2-1（其中-为编码分隔符），加上后面的一个空格就是1-2-1-3。但由于有了一个空格，我们就知道前面的"xyx"是一个单词，而由于该单词没有在词典中，我们就可以自适应的把这个词条添加到词典里，编码为4，然后按照新的词典对后继信息进行编码，以此类推。于是，最后得到编码：1-2-1-3-2-2-3-5-3-4。

现在已知初始词典的3个条目如上述，则信息串"yyxy xx yyxy xyx xx xyx"的编码是_________。

求解思路:

根据题目信息找出相应的规律，然后解码

答案：2-2-1-2-3-1-1-3-4-3-1-2-1-3-5-3-6

题目二

队列快照是指在某一时刻队列中的元素组成的有序序列。例如，当元素1、2、3入队，元素1出队后，此刻的队列快照是"2 3"。当元素2、3也出队后，队列快照是""，即为空。现有3个正整数元素依次入队、出队。已知它们的和为8，则共有_________种可能的不同的队列快照（不同队列的相同快照只计一次）。例如，“5 1”、“4 2 2”、""都是可能的队列快照；而"7"不是可能的队列快照，因为剩下的2个正整数的和不可能是1。

求解思路:
第一个是""
一位数一共有6个
然后两位数
1 1 到 1 6 共6个
2 1到 2 5 共5个
3 1到 3 4 共4个
4 1 到4 3共3个
5 1到 5 2 共2个
6 1到 6 1 共1个
总共1 。。 6=21个
最后三位数
1开头 116 125 134 143 152 161
2开头 215 224 233 242 251
同理可得总共 6 5 。。 1=21

所以全部加起来总共1 6 21 21=49个
答案：49

2011

题目一

每份考卷都有一个8位二进制序列号。当且仅当一个序列号含有偶数个1时，它才是有效的。例如，0000000、01010011都是有效的序列号，而11111110不是。那么，有效的序列号共有_____个。

求解思路:
8个二进制各不干涉且只有2中选择即0或1 满足题意的序列号即为有0个1的序号 2个1的序号 4个1的序号 6个1的序号 8个1的序号
1+28+70+28+1=128
序列号中有0个1的有1个序列号中有2个1的有28个 4个1的有70个 6个1的有28个 8个1的有1个
答案：128

题目二

定义字符串的基本操作为：删除一个字符、插入一个字符和将一个字符修改成另外一个字符这三种操作。将字符串Ａ变成字符串Ｂ的最少操作步数，称为字符串Ａ到字符串Ｂ的编辑距离。字符串“ABCDEFG”到字符串“BADECG”的编辑距离为_____。

求解思路:
就是把ABCDEFG变成BADECG的步骤需要几步
把A变成B，B变成A，C删除，F变成C

答案：4

2012

题目一

如果平面上任取n个整点（横纵坐标都是整数），其中一定存在两个点，它们连线的中点也是整点，那么n至少是__________。

求解思路:
先选出了b1———a1———a2———a3
然后依次把b2，b2和b3，b2和b3和b4,…向里面插。并且满足bi的位置要<=bj (i<j)

答案：5

题目二

在NOI期间，主办单位为了欢迎来自各国的选手，举行了盛大的晚宴。在第十八桌，有5名大陆选手和5名港澳选手共同进膳。为了增进交流，他们决定相隔就坐，即每个大陆选手左右旁都是港澳选手，每个港澳选手左右旁都是大陆选手。那么，这一桌一共有_______种不同的就坐方案。

注：如果在两个方案中，每个选手左右相邻的选手相同，则视为同一种方案。

求解思路:
相当于1个圆，十个人。先随便找个座，让人去坐，有10个可能，然后顺时
针走，下一个座就有5种可能，再下一个就4个，再下一个还是4个，以此类推，
就是10 * 5 * 4 * 4 * 3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1。这其中有重复的，同一种坐法，可以绕着桌子走
一圈，就是上一个人坐到下一个人的位置，串一下，这样所有坐法就算重复了10次,
再除以10就行了。就是5 * 4 * 3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1.

答案：2880

2013

题目一

7 个同学围坐一圈，要选 2 个不相邻的作为代表，有_________种不同的选法。

求解思路:
任选其中一个的方案是7，另选4，乘法原理7*4=28，两两重复除2，得14;

答案：14

题目二

某系统自称使用了一种防窃听的方式验证用户密码。密码是n 个数 s1, s2, ⋯ , sn，均为 0或 1。该系统每次随机生成 n 个数 a1, a2, ⋯ , an，均为 0或1，请用户回答 (s1a1 + s2a2 + ⋯+ snan) 除以 2 的余数。如果多次的回答总是正确，即认为掌握密码。该系统认为，即使问答的过程被泄露，也无助于破解密码——因为用户并没有直接发送密码。
然而，事与愿违。例如，当n = 4 时，有人窃听了以下5 次问答：

就破解出了密码s1 =___ ，s2 = ，s3 = ，s4 =___。
答案格式为：纯数字用,连接

求解思路:
用5可以推出（s1 * 1 + 0 + 0 + 0）% 2 == 0，s1 * 1 == 0，s1 == 0；
把s1 == 0代入1可得（0 * 1+s2 * 1+0+0）% 2 == 1，s2 * 1 == 1，s2 == 1；
把s2 == 1代入3可得（0+1 * 1 + s3 * 1+0）% 2 == 0，s3 * 1 == 1，s3 == 1；
把s3 == 1代入2可得（0 + 0+1 * 1 + s4 * 1）% 2 == 0，s4 * 1 == 1，s4 == 1；

答案：0,1,1,1

2014

题目一

把M个同样的球放到N个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的放置方法？(用K表示)。例如，M＝7，N＝3时，K＝8；在这里认为和是同一种放置方法。问：M＝8，N＝5时，K＝___ 。

求解思路:

答案：18

题目二

如图所示，图中每条边上的数字表示该边的长度，则从A到E的最短距离是__。

求解思路:
这个题目是动态规划的一个变型题目，从A到E划分为四个阶段，每个阶段都要决策，前一阶段的终点就是后一阶段的起点，对前一阶段的状态作出某种决策，产生后一阶段的状态。
2014NOIP普及组初赛二、问题求解2.如图所示，图中每条边上的数字表示该边的长度，则……
我们可以用倒推的方法，求A到E的最短距离。用k来表示阶段。
第一步：k=4 有 d4（F，E）来表示F到E的距离，4表示第四阶段。
f4(F)=6

第二步：k=3 有四条路到F，用d3（C，E）、d3（C，F）、d3（D，F）、d3（D，E）来表示这四条路，3表示第三阶段。
f3©=min{d3（C，E）、d3（C，F）}
=min{8，1+6}=7
f3(D)=min{d3（D，F）、d3（D，E）}
=min{2+6,4}=4
第三步：k=2 有
f2(B)=min{d2(B,C),d2(B,D)}
=min{1+7,7+4}=8
f2(G)=min{d2(G,C),d2(G,D)}
=min{2+7,4+4}=8
第四步：k=1有
f1(A)=min{d1(A,B),d1(A,G),d1(A,F)}
=min{3+8,4+8,6+6}=11
答案：11 。

答案：11

2015

题目一

重新排列 1234 使得每一个数字都不在原来的位置上，一共有__种排法。

求解思路:
穷举:
2 1 4 3
2 4 1 3
2 3 4 1
3 1 4 2
3 4 1 2
3 4 2 1
4 1 2 3
4 3 1 2
4 3 2 1

答案：9

题目二

一棵结点数为 2015 的二叉树最多有___个叶子结点。

求解思路:
二叉树有一个性质，即叶子节点 = 度为2的节点数+1
所以二叉树叶子节点最多的时，即度为2的节点数也最多，这种情况出现完全二叉树树种， 2015个节点的完全二叉树。
2015 = 叶子节点N0 + 度为1的节点N1+ 度为2的节点N2
当N1 = 0时，N0 = 1008 ，最多有1008个。

答案：1008

2016

题目一

从一个 4 \times 44×4 的棋盘（不可旋转）中选取不在同一行也不在同一列上的两个方格，共有_______种方法。

求解思路:
任选一个，去掉同列同行4+4-1=7个，剩16-7=9个
16*9=144
考虑有类似 (a,b) (b,a) 重复的情况
144/2=72

答案：72

题目二

约定二叉树的根节点高度为 1。一棵结点数为 2016 的二叉树最少有（）个叶子结点；一棵结点数为 2016 的二叉树最小的高度值是（）。

求解思路:

答案：1，11

2017

题目一

一个人站在坐标（0, 0）处，面朝 x 轴正方向。第一轮，他向前走 1 单位距离，然后右转；第二轮，他向前走 2 单位距离，然后右转；第三轮，他向前走 3 单位距离，然后右转……他一直这么走下去。请问第 2017 轮后，他的坐标是：（ _________ , _________ ）。（请在答题纸上用逗号隔开两空答案）

求解思路:
1: x+i
2: y-i
3: x-i
4: y+i
2017/4 == 504…1
x = (1-3+5-7) 重复504次 == -1008
y = (-2+4-6+8) 重复504次 == 1008
在进行1次循环到 (x+2017, y) -> (1009, 1008)

答案：1009，1008

题目二

如下图所示，共有 13 个格子。对任何一个格子进行一次操作，会使得它自己以及与它上下左右相邻的格子中的数字改变（由 1 变 0，或由 0 变 1）。现在要使得所有的格子中的数字都变为 0，至少需要_________次操作。

求解思路:
第一次：第三排右数第二个

第二次：第四排中间那个

第三次：最上面那个

答案：3

2018

题目一

甲乙丙丁四人在考虑周末要不要外出郊游。

已知①如果周末下雨，并且乙不去，则甲一定不去；②如果乙去，则丁一定去；③如果丙去，则丁一定不去；④如果丁不去，而且甲不去，则丙一定不去。

如果周末丙去了，则甲________，乙________，丁________，周末________。

求解思路:
因为丙去了，由③知：丁没去；

因为丁没去，由②知：乙没去；

因为丁没去，丙去了，由④知：甲去了；

因为甲去了，乙没去，由①知：周末没下雨；

题目二

从 1 到 2018 这 2018 个数中，共有__________个包含数字 8 的数。

求解思路:
1-----99有19个数含8，
100----199有19个数含8，
…
800----899有100个数含8
…
1800-----1899有100个数含8，
2000-----2018有2个数含8
一共有:
（20-2）×19+2×100+2
=18×19+202
=342+202
=564个

答案：564