组合数学——Nim取子游戏

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Nim取子游戏是由两个人面对若干堆硬币（或石子）进行的游戏。设有k>=1堆硬币，各堆分别含有N 1，N 2，……N K枚硬币。游戏的目的就是选择最后剩下的硬币。游戏法则如下：
1．两个游戏人交替进行游戏（游戏人I和游戏人II）；
2．当轮到每个游戏人取子时，选择这些堆中的一堆，并从所选的堆中取走至少一枚硬币（游戏人可以取走他所选堆中的全部硬币）；
3．当所有的堆都变成空堆时，最后取子的游戏人即为胜者。
这个游戏中的变量是堆数k和各堆的硬币数N 1，N 2，……N k。对应的组合问题是，确定游戏人I获胜还是游戏人II获胜以及两个游戏人应该如何取子才能保证自己获胜（获胜策略）。
为了进一步理解Nim取子游戏，我们考查某些特殊情况。如果游戏开始时只有一堆硬币，游戏人I则通过取走所有的硬币而获胜。现在设有2堆硬币，且硬币数量分别为N 1和N 2。游戏人取得胜利并不在于N1和N2的值具体是多少，而是取决于它们是否相等。设N 1！=N 2，游戏人I从大堆中取走的硬币使得两堆硬币数量相等，于是，游戏人I以后每次取子的数量与游戏人II相等而最终获胜。但是如果N 1= N 2，则：游戏人II只要按着游戏人I取子的数量在另一堆中取相等数量的硬币，最终获胜者将会是游戏人II。这样，两堆的取子获胜策略就已经找到了。
现在我们如何从两堆的取子策略扩展到任意堆数中呢？
首先来回忆一下，每个正整数都有对应的一个二进制数，例如：57 (10)  à 111001 (2) ，即：57 (10)=2 5+2 4+2 3+2 0。于是，我们可以认为每一堆硬币数由2的幂数的子堆组成。这样，含有57枚硬币大堆就能看成是分别由数量为2 5、2 4、2 3、2 0的各个子堆组成。
现在考虑各大堆大小分别为N 1，N 2，……N k的一般的Nim取子游戏。将每一个数N i表示为其二进制数（数的位数相等，不等时在前面补0）：
N 1 = a s…a 1a 0
N 2 = b s…b 1b 0
……
N k = m s…m 1m 0
如果每一种大小的子堆的个数都是偶数，我们就称Nim取子游戏是平衡的，而对应位相加是偶数的称为平衡位，否则称为非平衡位。因此，Nim取子游戏是平衡的，当且仅当：

as + bs + … + ms 是偶数

……

a1 + b1 + … + m1 是偶数

a0 + b0 + … + m0是偶数

于是，我们就能得出获胜策略：
游戏人I能够在非平衡取子游戏中取胜，而游戏人II能够在平衡的取子游戏中取胜。
我们以一个两堆硬币的Nim取子游戏作为试验。设游戏开始时游戏处于非平衡状态。这样，游戏人I就能通过一种取子方式使得他取子后留给游戏人II的是一个平衡状态下的游戏，接着无论游戏人II如何取子，再留给游戏人I的一定是一个非平衡状态游戏，如此反复进行，当游戏人II在最后一次平衡状态下取子后，游戏人I便能一次性取走所有的硬币而获胜。而如果游戏开始时游戏牌平衡状态，那根据上述方式取子，最终游戏人II能获胜。
下面应用此获胜策略来考虑4-堆的Nim取子游戏。其中各堆的大小分别为7，9，12，15枚硬币。用二进制表示各数分别为：0111，1001，1100和1111。于是可得到如下一表：

23 = 8

22 = 4

21 = 2

20 = 1
大小为7的堆
0
1
1
1
大小为9的堆
1
0
0
1
大小为12的堆
1
1
0
0
大小为15的堆
1
1
1
1
由Nim取子游戏的平衡条件可知，此游戏是一个非平衡状态的取子游戏，因此，游戏人I在按获胜策略进行取子游戏下将一定能够取得最终的胜利。具体做法有多种，游戏人I可以从大小为12的堆中取走11枚硬币，使得游戏达到平衡（如下表），

23 = 8

22 = 4

21 = 2

20 = 1
大小为7的堆
0
1
1
1
大小为9的堆
1
0
0
1
大小为12的堆
0
0
0
1
大小为15的堆
1
1
1
1
之后，无论游戏人II如何取子，游戏人I在取子后仍使得游戏达到平衡。
同样的道理，游戏人I也可以选择大小为9的堆并取走5枚硬币而剩下4枚，或者，游戏人I从大小为15的堆中取走13枚而留下2枚。
归根结底，Nim取子游戏的关键在于游戏开始时游戏处于何种状态（平衡或非平衡）和第一个游戏人是否能够按照取子游戏的获胜策略来进行游戏。

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