高数考研归纳 - 空间解析几何
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文章目录
- 1 向量代数
- (一) 向量的基本概念
- (二) 向量的计算
- (1) 几何描述
- 加减法
- 数与向量之积 (数乘)
- 数量积 (内积、点积、点乘)
- 向量积 (外积、叉积、叉乘)
- 混合积 (三重积)
- (2) 代数描述
- 加减法
- 数与向量之积 (数乘)
- 数量积 (内积、点积、点乘)
- 向量积 (外积、叉积、叉乘)
- 混合积 (三重积)
- (三) 向量投影
- (四) 向量极限问题
- 2 空间曲面与空间曲线
- (一) 空间曲面
- (1) 定义
- (2) 两类重要空间曲面
- a. 柱面
- b. 旋转曲面
- 一般旋转曲面
- 绕坐标轴旋转的曲面方程
- (3) 其他二次曲面
- a. 球面
- b. 椭球面
- c. 圆锥面
- d. 双曲面
- e. 抛物面
- (3) 空间曲面的切平面
- (4) 空间曲面的法线
- (二) 空间曲线
- (1) 空间曲线方程
- (2) 空间曲线在坐标面上的投影曲线
- (3) 空间曲线的切线
- 曲线以参数方程形式给出
- 曲线以一般形式给出
- (4) 空间曲线的法平面
- 曲线以参数方程形式给出 (常考)
- 曲线以一般形式给出
- 3 空间平面与空间直线
- (一) 空间平面方程
- (二) 空间直线方程
- (三) 求距离
- (1) 两点之间的距离
- (2) 点到平面的距离
- (3) 两平行平面之间的距离
- (4) 点到直线的距离
- (5) 两异面直线之间的距离
- (6) 直线到平行平面的距离
- (四) 求夹角
- (1) 两向量的夹角
- (2) 两平面的夹角
- (3) 两直线的夹角
- (4) 直线与平面的夹角
- (五) 平面与直线重要解题思路
- 直线
- 平面
- 直线与平面
- (六) 对称点问题
- (七) 共线共面问题
- (八) 投影直线问题
- (九) 直线绕坐标轴旋转形成曲面
- 4 椭圆切线方程与椭球体切面方程
1 向量代数
(一) 向量的基本概念
向量：有大小有方向的量.
向量在书面中通常使用加粗的字母表示，因为本文面向考研，为最大限度减小混淆，所以均采用在字母上方加箭头的手写体：a⃗\vec{a}a.
向量的模 (长度)：向量的大小，表示为∣a⃗∣\,|\vec{a}|∣a∣.
零向量：长度为0\,0\,0的向量，其方向不确定.
∣a⃗∣=0⇒a⃗=0⃗|\vec{a}|=0\Rightarrow\vec{a}=\vec{0}∣a∣=0⇒a=0
单位向量：长度为1\,1\,1的向量.
∣a⃗∣=1⇒a⃗为单位向量|\vec{a}|=1\Rightarrow\vec{a}\,为单位向量∣a∣=1⇒a为单位向量
向量单位化：a0⃗=1∣a⃗∣a⃗\vec{a^0}=\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}a0=∣a∣1a
向径：起点为原点，终点为点P\,P\,P的向量OP→\,\overrightarrow{OP}\,OP称为点P\,P\,P的向径.
向量的坐标表示：
a⃗=a1i⃗+b1j⃗+c1k⃗={a1,b1,c1}\vec{a}=a_1{\vec{i}}+b_1{\vec{j}}+c_1{\vec{k}}=\{a_1,b_1,c_1\}a=a1i+b1j+c1k={a1,b1,c1}∣a⃗∣=a12+b12+c12|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}∣a∣=a12+b12+c12a0⃗=1∣a⃗∣a⃗={a1a12+b12+c12,b1a12+b12+c12,c1a12+b12+c12}\vec{a^0}=\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}=\bigg\{\frac{a_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}},\frac{b_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}},\frac{c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}}\bigg\}a0=∣a∣1a={a12+b12+c12a1,a12+b12+c12b1,a12+b12+c12c1}
方向角：向量a⃗\,\vec{a}\,a与x\,x\,x轴、yy\,y轴及z\,z\,z轴正方向的夹角，分别记为α\,\alphaα、β\betaβ、γ\gammaγ.
方向余弦： 即方向角的余弦：cosα\text{cos}\alphacosα、cosβ\text{cos}\betacosβ、cosγ\text{cos}\gammacosγ.
cosα=a1∣a⃗∣=a1a12+b12+c12\text{cos}\alpha=\frac{a_1}{|\vec{a}|}=\frac{a_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}}cosα=∣a∣a1=a12+b12+c12a1cosβ=b1∣a⃗∣=b1a12+b12+c12\text{cos}\beta=\frac{b_1}{|\vec{a}|}=\frac{b_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}}cosβ=∣a∣b1=a12+b12+c12b1cosγ=c1∣a⃗∣=c1a12+b12+c12\text{cos}\gamma=\frac{c_1}{|\vec{a}|}=\frac{c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}}cosγ=∣a∣c1=a12+b12+c12c1
方向余弦的性质：cos2α+cos2β+cos2γ=1\text{cos}^2\alpha+\text{cos}^2\beta+\text{cos}^2\gamma=1cos2α+cos2β+cos2γ=1a0⃗={cosα,cosβ,cosγ}\vec{a^0}=\big\{\text{cos}\alpha, \text{cos}\beta, \text{cos}\gamma\big\}a0={cosα,cosβ,cosγ}
三个重要向量：
方向向量：用s⃗\,\vec{s}\,s表示.
法向量：用n⃗\,\vec{n}\,n表示.
切向量：用T⃗\,\vec{T}\,T或τ⃗\,\vec{\tau}\,τ表示.
(二) 向量的计算
(1) 几何描述
加减法
数与向量之积 (数乘)
ka⃗{k>0⇒{方向：ka⃗与a⃗相同大小：a⃗大小的k倍k=0⇒ka⃗为零向量k<0⇒{方向：ka⃗与a⃗相反大小：a⃗大小的∣k∣倍k\vec{a}\begin{cases} k>0\Rightarrow \begin{cases}方向：k\vec{a}\,与\,\vec{a}\,相同\\大小：\vec{a}\,大小的\,k\,倍\end{cases}\\ k=0\Rightarrow k\vec{a}\,为零向量\\ k<0\Rightarrow \begin{cases}方向：k\vec{a}\,与\,\vec{a}\,相反\\大小：\vec{a}\,大小的\,|k|\,倍\end{cases} \end{cases}ka⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧k>0⇒{方向：ka与a相同大小：a大小的k倍k=0⇒ka为零向量k<0⇒{方向：ka与a相反大小：a大小的∣k∣倍
数量积 (内积、点积、点乘)
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣⋅cos(a⃗,b⃗)^\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cdot\text{cos}\hat{(\vec{a},\vec{b})}a⋅b=∣a∣∣b∣⋅cos(a,b)^
向量积 (外积、叉积、叉乘)
a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}a×b 方向：右手准则确定；
大小∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣⋅sin(a⃗,b⃗)^|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\cdot\text{sin}\hat{(\vec{a},\vec{b})}∣a×b∣=∣a∣∣b∣⋅sin(a,b)^
运算性质：a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}a×b=−b×aa⃗×(b⃗+c⃗)=a⃗×b⃗+a⃗×c⃗\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}a×(b+c)=a×b+a×c
混合积 (三重积)
(a⃗,b⃗,c⃗)=(a⃗×b⃗)⋅c⃗(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}(a,b,c)=(a×b)⋅c
混合积也可记作：[a⃗,b⃗,c⃗][\vec{a},\vec{b},\vec{c}][a,b,c]
运算性质：
(a⃗,b⃗,c⃗)=(b⃗,c⃗,a⃗)=(c⃗,a⃗,b⃗)(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{b},\vec{c},\vec{a})=(\vec{c},\vec{a},\vec{b})(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)(ka⃗,b⃗,c⃗)=(a⃗,kb⃗,c⃗)=(a⃗,b⃗,kc⃗)=k(a⃗,b⃗,c⃗)(k\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a},k\vec{b},\vec{c})=(\vec{a},\vec{b},k\vec{c})=k(\vec{a},\vec{b},\vec{c})(ka,b,c)=(a,kb,c)=(a,b,kc)=k(a,b,c)(a1⃗+a2⃗,b⃗,c⃗)=(a1⃗,b⃗,c⃗)+(a2⃗,b⃗,c⃗)(\vec{a_1}+\vec{a_2},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a_1},\vec{b},\vec{c})+(\vec{a_2},\vec{b},\vec{c})(a1+a2,b,c)=(a1,b,c)+(a2,b,c)
结合混合积的第一个性质可得，(a⃗,b⃗,c⃗)=(a⃗×b⃗)⋅c⃗=(b⃗×c⃗)⋅a⃗=(c⃗×a⃗)⋅b⃗(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}(a,b,c)=(a×b)⋅c=(b×c)⋅a=(c×a)⋅b
(2) 代数描述
α⃗={a1,b1,c1}，β⃗={a2,b2,c2}，γ⃗={a3,b3,c3}\vec{\alpha}=\{a_1,b_1,c_1\}，\vec{\beta}=\{a_2,b_2,c_2\}，\vec{\gamma}=\{a_3,b_3,c_3\}α={a1,b1,c1}，β={a2,b2,c2}，γ={a3,b3,c3}
加减法
加法：α⃗+β⃗={a1+a2,b1+b2,c1+c2}\vec{\alpha}+\vec{\beta}=\{a_1+a_2,\,b_1+b_2,\,c_1+c_2\}α+β={a1+a2,b1+b2,c1+c2} 减法：α⃗−β⃗={a1−a2,b1−b2,c1−c2}\vec{\alpha}-\vec{\beta}=\{a_1-a_2,\,b_1-b_2,\,c_1-c_2\}α−β={a1−a2,b1−b2,c1−c2}
数与向量之积 (数乘)
kα⃗={ka1,kb1,kc1}k\vec{\alpha}=\{ka_1,\,kb_1,\,kc_1\}kα={ka1,kb1,kc1}
数量积 (内积、点积、点乘)
α⃗⋅β⃗=a1a2+b1b2+c1c2\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2α⋅β=a1a2+b1b2+c1c2
重要性质：
α⃗⋅β⃗=β⃗⋅α⃗\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}=\vec{\beta}\cdot\vec{\alpha}α⋅β=β⋅αα⃗⋅α⃗=∣α⃗∣2\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}=|\vec{\alpha}|^2α⋅α=∣α∣2α⃗⋅β⃗=0⇔α⃗⊥β⃗⇔a1a2+b1b2+c1c2=0\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}=0 \Leftrightarrow \vec{\alpha}\perp \vec{\beta} \Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0α⋅β=0⇔α⊥β⇔a1a2+b1b2+c1c2=0(α⃗+β⃗)⋅γ⃗=α⃗⋅γ⃗+β⋅γ⃗(\vec{\alpha}+\vec{\beta})\cdot\vec{\gamma}=\vec{\alpha}\cdot\vec{\gamma}+\beta\cdot\vec{\gamma}(α+β)⋅γ=α⋅γ+β⋅γ
向量积 (外积、叉积、叉乘)
计算方法：
a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗a1a2a3b1b2b3∣\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3 \end{vmatrix}a×b=∣∣∣∣∣∣ia1b1ja2b2ka3b3∣∣∣∣∣∣
快速计算方法：
a⃗×b⃗=(ans1,ans2,ans3)\vec{a}\times\vec{b}=(\text{ans}_1,\text{ans}_2,\text{ans}_3)a×b=(ans1,ans2,ans3)(a1b1c1a1b1c1a2b2c2a2b2c2)\bigg(\begin{matrix} a_1& b_1& c_1& a_1& b_1& c_1 \\ a_2& b_2& c_2& a_2& b_2& c_2 \end{matrix}\bigg)(a1a2b1b2c1c2a1a2b1b2c1c2)⇓\Downarrow⇓(a1b1c1a1b1c1a2b2c2a2b2c2)\bigg(\begin{matrix} \sout{a_1}& b_1& c_1& a_1& b_1& \sout{c_1} \\ \sout{a_2}& b_2& c_2& a_2& b_2& \sout{c_2} \end{matrix}\bigg)(a1a2b1b2c1c2a1a2b1b2c1c2)⇓\Downarrow⇓ans1=∣b1c1b2c2∣,ans2=∣c1a1c2a2∣,ans3=∣a1b1a2b2∣\text{ans}_1=\begin{vmatrix} b_1 & c_1\\ b_2 & c_2 \end{vmatrix},\text{ans}_2=\begin{vmatrix} c_1& a_1\\ c_2 & a_2 \end{vmatrix},\text{ans}_3=\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}ans1=∣∣∣∣b1b2c1c2∣∣∣∣,ans2=∣∣∣∣c1c2a1a2∣∣∣∣,ans3=∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣∣
重要性质：
a⃗//b⃗⇔α⃗×β⃗=0⇔a1a2=b1b2=c1c2\vec{a}\,\,\,/\kern -0.8em /\,\,\,\vec{b} \Leftrightarrow \vec{\alpha}\times\vec{\beta}=0 \Leftrightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}a//b⇔α×β=0⇔a2a1=b2b1=c2c1∣α⃗×β⃗∣=∣α⃗∣∣β⃗∣sin(α⃗,β⃗)^=2SΔ\big|\vec{\alpha}\times\vec{\beta}\big|=|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|\text{sin}\hat{(\vec{\alpha},\vec{\beta})}=2S_{\Delta}∣∣α×β∣∣=∣α∣∣β∣sin(α,β)^=2SΔ
混合积 (三重积)
(α⃗,β⃗,γ⃗)=(α⃗×β⃗)⋅γ⃗=∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣(\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma})=(\vec{\alpha}\times\vec{\beta})\cdot\vec{\gamma}=\begin{vmatrix} a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3 \end{vmatrix}(α,β,γ)=(α×β)⋅γ=∣∣∣∣∣∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣∣∣∣∣∣ 重要性质：三向量α⃗,β⃗,γ⃗\,\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}\,α,β,γ共面的充要条件为(α⃗,β⃗,γ⃗)=0\,(\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma})=0(α,β,γ)=0.
(三) 向量投影
定义：
AB→\,\overrightarrow{AB}\,AB在u\,u\,u轴上的投影为A1B1\,A_1B_1\,A1B1，记为
PrjuAB→=A1B1\text{Prj}_u\overrightarrow{AB}=A_1B_1PrjuAB=A1B1
性质：
Prjua⃗=∣a⃗∣cos(u,a⃗)^\text{Prj}_u\vec{a}=|\vec{a}|\text{cos}\hat{(u,\vec{a})}Prjua=∣a∣cos(u,a)^Prjuka⃗=k⋅Prjua⃗\text{Prj}_uk\vec{a}=k\cdot\text{Prj}_u\vec{a}Prjuka=k⋅PrjuaPrju(a⃗+b⃗)=Prjua⃗+Prjub⃗\text{Prj}_u(\vec{a}+\vec{b})=\text{Prj}_u\vec{a}+\text{Prj}_u\vec{b}Prju(a+b)=Prjua+Prjuba⃗⋅b⃗=∣a⃗∣Prja⃗b⃗=∣b⃗∣Prjb⃗a⃗\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\text{Prj}_{\vec{a}}\vec{b}=|\vec{b}|\text{Prj}_{\vec{b}}\vec{a}a⋅b=∣a∣Prjab=∣b∣Prjba
(四) 向量极限问题
解题关键：
(1) 向量模的平方等于向量的平方.
(2) 向量极限通常要使用平方差公式，从而产生模的平方.
(3) 能先处理的因子就先处理.
例. 设a⃗\,\vec{a}a，b⃗\vec{b}\,b为两个非零向量，夹角为π4\,\frac{\pi}{4}4π，其中b⃗\,\vec{b}\,b为单位向量，求：
limx→0∣a⃗+xb⃗∣−∣a⃗∣x.\lim\limits_{x\to 0}\frac{|\vec{a}+x\vec{b}|-|\vec{a}|}{x}.x→0limx∣a+xb∣−∣a∣. 解：limx→0∣a⃗+xb⃗∣−∣a⃗∣x=limx→0(∣a⃗+xb⃗∣−∣a⃗∣)(∣a⃗+xb⃗∣+∣a⃗∣)x(∣a⃗+xb⃗∣+∣a⃗∣)=12limx→0(a⃗+xb⃗)2−a⃗2x=12limx→0x2b⃗2+2xa⃗b⃗x=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{|\vec{a}+x\vec{b}|-|\vec{a}|}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(|\vec{a}+x\vec{b}|-|\vec{a}|)(|\vec{a}+x\vec{b}|+|\vec{a}|)}{x(|\vec{a}+x\vec{b}|+|\vec{a}|)}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\vec{a}+x\vec{b})^2-\vec{a}^2}{x}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2\vec{b}^2+2x\vec{a}\vec{b}}{x}=1x→0limx∣a+xb∣−∣a∣=x→0limx(∣a+xb∣+∣a∣)(∣a+xb∣−∣a∣)(∣a+xb∣+∣a∣)=21x→0limx(a+xb)2−a2=21x→0limxx2b2+2xab=1
2 空间曲面与空间曲线
(一) 空间曲面
(1) 定义
空间曲面方程：
F(x,y,z)=0\color{Purple}F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0
等价命题：
设Σ\,\Sigma\,Σ为空间曲面，F(x,y,z)=0\,F(x,y,z)=0\,F(x,y,z)=0为曲面的方程：
(1) 曲面Σ\,\Sigma\,Σ上任一点的坐标都是F(x,y,z)=0\,F(x,y,z)=0\,F(x,y,z)=0的解；
(2) 方程F(x,y,z)=0\,F(x,y,z)=0\,F(x,y,z)=0的任一解对应的点位于曲面Σ\,\Sigma\,Σ上.
(2) 两类重要空间曲面
a. 柱面
定义：
Σ:F(x,y)=0\Sigma:\color{Purple}F(x,y)=0Σ:F(x,y)=0，母线平行于z\,\bm{z}\,z轴的柱面；
Σ:F(x,z)=0\Sigma:\color{Purple}F(x,z)=0Σ:F(x,z)=0，母线平行于y\,\bm{y}\,y轴的柱面；
Σ:F(y,z)=0\Sigma:\color{Purple}F(y,z)=0Σ:F(y,z)=0，母线平行于x\,\bm{x}\,x轴的柱面；
柱面特点：
(1) 方程缺少某个变量.
(2) 柱面上任一点切平面都与某一直线平行.
常见柱面方程：
椭圆柱面：
x2a2+y2b2=1\color{Blue}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2+b2y2=1
双曲柱面：x2a2−y2b2=1\color{Blue}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1a2x2−b2y2=1
抛物柱面：
x2=ay\color{Blue}x^2=ayx2=ay
注意：
(1) 曲线的投影柱面：设任一空间曲线Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\,\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0，求过Γ\,\Gamma\,Γ且平行于z\,z\,z轴的柱面方程：
方程消去变量z\,z\,z得到的方程H(x,y)=0\,H(x,y)=0H(x,y)=0，即为对应曲线的投影柱面.
(2) 柱面的投影曲线：柱面F(x,y)=0\,F(x,y)=0\,F(x,y)=0在xOy\,xOy\,xOy平面内的投影曲线为：Γ:{F(x,y)=0z=0\Gamma:\begin{cases}F(x,y)=0\\z=0\end{cases}Γ:{F(x,y)=0z=0
b. 旋转曲面
定义：空间曲线绕某一定直线旋转一周而形成的曲面.
一般旋转曲面
方程解法如下：
设曲线方程和定直线方程为：
Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0，L:x−x0m=y−y0n=z−z0p\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}，L:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0，L:mx−x0=ny−y0=pz−z0
显然，L\,L\,L过点M0(x0,y0,z0)\,M_0(x_0,y_0,z_0)M0(x0,y0,z0)，其方向向量 s⃗={m,n,p}\,\vec{s}=\{m,n,p\}s={m,n,p}.
step 1. 在曲线Γ\,\Gamma\,Γ上任取一点M1(x1,y1,z1)\,M_1(x_1,y_1,z_1)M1(x1,y1,z1)，经过M1\,M_1\,M1绘制其旋转经过路径的圆(纬圆).
step 2. 由几何关系，纬圆上任意一点P(x,y,z)\,P(x,y,z)\,P(x,y,z)满足：
∣M0M1→∣=∣M0P→∣|\overrightarrow{M_0M_1}|=|\overrightarrow{M_0P}|∣M0M1∣=∣M0P∣M1P→⊥s⃗\overrightarrow{M_1P}\perp\vec{s}M1P⊥s 可列两个方程：{(x1−x0)2+(y1−y0)2+(z1−z0)2=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2{x−x1,y−y1,z−z1}⋅{m,n,p}=0\begin{cases}(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\\ \{x-x_1,y-y_1,z-z_1\}\cdot\{m,n,p\}=0\end{cases}{(x1−x0)2+(y1−y0)2+(z1−z0)2=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2{x−x1,y−y1,z−z1}⋅{m,n,p}=0
step 3. 又根据M1\,M_1\,M1在Γ\,\Gamma\,Γ上，联立方程消去x1\,x_1x1、y1y_1y1、z1z_1\,z1即可得到旋转曲面方程，即{(x1−x0)2+(y1−y0)2+(z1−z0)2=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2{x−x1,y−y1,z−z1}⋅{m,n,p}=0F(x1,y1,z1)=0G(x1,y1,z1)=0\begin{cases}(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\\ \{x-x_1,y-y_1,z-z_1\}\cdot\{m,n,p\}=0\\F(x_1,y_1,z_1)=0\\G(x_1,y_1,z_1)=0\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧(x1−x0)2+(y1−y0)2+(z1−z0)2=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2{x−x1,y−y1,z−z1}⋅{m,n,p}=0F(x1,y1,z1)=0G(x1,y1,z1)=0
绕坐标轴旋转的曲面方程
方程解法如下：
口诀：绕谁转，谁不变，xyzxyz\,xyz都要在.
(1) 设曲线Γ:{F(x,y)=0z=0\,\Gamma:\begin{cases}F(x,y)=0\\z=0\end{cases}\,Γ:{F(x,y)=0z=0为xOy\,xOy\,xOy平面上的曲线，
Γ\,\Gamma\,Γ绕x\,x\,x轴旋转所得的旋转曲面为Σx:F(x,±y2+z2)=0\,\Sigma_x:F(x,\,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0Σx:F(x,±y2+z2)=0；
Γ\,\Gamma\,Γ绕y\,y\,y轴旋转所得的旋转曲面为Σy:F(±x2+z2,y)=0\,\Sigma_y:F(\pm\sqrt{x^2+z^2},\,y)=0Σy:F(±x2+z2,y)=0.
(2) 设曲线Γ:{F(y,z)=0x=0\,\Gamma:\begin{cases}F(y,z)=0\\x=0\end{cases}\,Γ:{F(y,z)=0x=0为yOz\,yOz\,yOz平面上的曲线，
Γ\,\Gamma\,Γ绕y\,y\,y轴旋转所得的旋转曲面为Σy:F(y,±x2+z2)=0\,\Sigma_y:F(y,\,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0Σy:F(y,±x2+z2)=0；
Γ\,\Gamma\,Γ绕z\,z\,z轴旋转所得的旋转曲面为Σz:F(±x2+y2,z)=0\,\Sigma_z:F(\pm\sqrt{x^2+y^2},\,z)=0Σz:F(±x2+y2,z)=0.
(3) 设曲线Γ:{F(x,z)=0y=0\,\Gamma:\begin{cases}F(x,z)=0\\y=0\end{cases}\,Γ:{F(x,z)=0y=0为zOx\,zOx\,zOx平面上的曲线，
Γ\,\Gamma\,Γ绕x\,x\,x轴旋转所得的旋转曲面为Σx:F(x,±y2+z2)=0\,\Sigma_x:F(x,\,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0Σx:F(x,±y2+z2)=0；
Γ\,\Gamma\,Γ绕z\,z\,z轴旋转所得的旋转曲面为Σz:F(±x2+y2,z)=0\,\Sigma_z:F(\pm\sqrt{x^2+y^2},\,z)=0Σz:F(±x2+y2,z)=0.
(3) 其他二次曲面
二次曲面：三元二次方程F(x,y,z)=0\,F(x,y,z)=0\,F(x,y,z)=0所表示的曲面.
a. 球面
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2\color{Blue}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2
(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)\,(x0,y0,z0)为球心，RR\,R为半径.
b. 椭球面
x2a2+y2b2+z2c2=1\color{Blue}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1a2x2+b2y2+c2z2=1
注意系数符号为：+++、+++、+++.
c. 圆锥面
(1) 形成：直线绕一轴旋转.
f(y,z)⇒f(±x2+y2,z)=0f(y,z)\Rightarrow f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0f(y,z)⇒f(±x2+y2,z)=0
(2) 方程：
z2=a2(x2+y2)(a=cotα)\color{Blue}z^2=a^2(x^2+y^2)\;\;\;(a=\text{cot}\alpha)z2=a2(x2+y2)(a=cotα)
注意：其中α\,\alpha\,α称为半顶角.
(3) 半圆锥面：
z=a(x2+y2)(a=cotα)\color{Blue}z=\sqrt{a(x^2+y^2)}\;\;\;(a=\text{cot}\alpha)z=a(x2+y2)(a=cotα)
常考a=1\,a=1\,a=1时的圆锥面：z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}z=x2+y2.
(4) 椭圆锥面：
x2a2+y2b2=z2\color{Blue}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2a2x2+b2y2=z2
d. 双曲面
(1) 旋转单叶双曲面：
形成：双曲线绕过中心竖直轴旋转而成.x2a2−z2c2=1⇒x2+y2a2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1a2x2−c2z2=1⇒a2x2+y2−c2z2=1
方程：
x2+y2a2−z2c2=1\color{Blue}\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1a2x2+y2−c2z2=1
(2) 旋转双叶双曲面：
形成：双曲线绕过中心水平轴旋转而成.x2a2−y2b2=1⇒x2a2−y2+z2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1a2x2−b2y2=1⇒a2x2−b2y2+z2=1
方程：
x2a2−y2+z2b2=1\color{Blue}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1a2x2−b2y2+z2=1
(3) 单叶双曲面
x2a2+y2b2−z2c2=1\color{Blue}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1a2x2+b2y2−c2z2=1
注意系数符号为：+++、+++、−-−.
(4) 双叶双曲面：
x2a2−y2b2−z2c2=1\color{Blue}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1a2x2−b2y2−c2z2=1
注意系数符号为：+++、−-−、−-−.
e. 抛物面
(1) 椭圆抛物面：
x2a2+y2b2=z\color{Blue}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=za2x2+b2y2=z
(2) 双曲抛物面 / 马鞍面
x2a2−y2b2=z\color{Blue}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=za2x2−b2y2=z
特殊双曲抛物面(马鞍面)
z=xy\color{Blue}z=xyz=xy
(3) 空间曲面的切平面
Σ:F(x,y,z)=0\Sigma:F(x,y,z)=0Σ:F(x,y,z)=0，M0(x0,y0,z0)∈ΣM_0(x_0,y_0,z_0)\in\SigmaM0(x0,y0,z0)∈Σ，则过M0\,M_0\,M0点的切平面法向量为：n⃗={Fx′,Fy′,Fz′}M0\color{Purple}\vec{n}=\{F'_x,\,F'_y,\,F'_z\}_{M_0}n={Fx′,Fy′,Fz′}M0
切平面方程：
Fx′(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy′(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz′(x0,y0,z0)(z−z0)=0\color{Purple}F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0Fx′(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy′(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz′(x0,y0,z0)(z−z0)=0
(4) 空间曲面的法线
Σ:F(x,y,z)=0\Sigma:F(x,y,z)=0Σ:F(x,y,z)=0，M0(x0,y0,z0)∈ΣM_0(x_0,y_0,z_0)\in\SigmaM0(x0,y0,z0)∈Σ，则过M0\,M_0\,M0点法线的方向向量为：
n⃗={Fx′,Fy′,Fz′}M0\color{Purple}\vec{n}=\{F'_x,\,F'_y,\,F'_z\}_{M_0}n={Fx′,Fy′,Fz′}M0
注意：切平面某点的法向量就是该点法线的方向向量.
法线方程：
x−x0Fx′(x0,y0,z0)=y−y0Fy′(x0,y0,z0)=z−z0Fz′(x0,y0,z0)\color{Purple}\frac{x-x_0}{F'_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}Fx′(x0,y0,z0)x−x0=Fy′(x0,y0,z0)y−y0=Fz′(x0,y0,z0)z−z0
(二) 空间曲线
(1) 空间曲线方程
一般形式 (空间曲线，即两个曲面的交线)：
Γ:{F(x,y,z)=0，G(x,y,z)=0，\Gamma:\begin{cases}{\color{Purple}F(x,y,z)=0，}\\ {\color{Purple}G(x,y,z)=0，}\end{cases}Γ:{F(x,y,z)=0，G(x,y,z)=0，
简化曲线方程：
有时曲线的一般方程比较复杂，不便于分析. 可以通过把两个方程相互代入简化方程. 比如：
Γ:{x2+y2+z2−yz=1,y−2z=0.\Gamma:\begin{cases}x^2+y^2+z^2-yz=1,\\ y-2z=0.\end{cases}Γ:{x2+y2+z2−yz=1,y−2z=0.通过把第二个方程代入第一个方程，就可以简化Γ\,\Gamma\,Γ为：
Γ:{x2+34y2=1,y−2z=0.\Gamma:\begin{cases}x^2+\frac{3}{4}y^2=1,\\ y-2z=0.\end{cases}Γ:{x2+43y2=1,y−2z=0.
参数形式：
Γ:{x=φ(t)，y=ψ(t)，z=ω(t)，t∈[α,β]\Gamma:\color{Purple}\begin{cases}x=\varphi(t)，\\ y=\psi(t)，\\ z=\omega(t)，\end{cases}t\in[\alpha,\beta]Γ:⎩⎪⎨⎪⎧x=φ(t)，y=ψ(t)，z=ω(t)，t∈[α,β]
(2) 空间曲线在坐标面上的投影曲线
设空间曲线Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\,\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0，按以下方法可以求得Γ\,\Gamma\,Γ在xOy\,xOy\,xOy平面上的投影曲线Γ′\,\Gamma'\,Γ′：
step 1. 将Γ\,\Gamma\,Γ方程中的变量z\,z\,z消去，得到H(x,y)\,H(x,y)H(x,y).
step 2. 联立H(x,y)\,H(x,y)\,H(x,y)与z=0\,z=0\,z=0得到投影曲线方程：
Γ′:{H(x,y)=0，z=0，\Gamma':\begin{cases}H(x,y)=0，\\z=0，\end{cases}Γ′:{H(x,y)=0，z=0，
H(x,y)H(x,y)\,H(x,y)为过Γ\,\Gamma\,Γ的平行于z\,z\,z轴的投影柱面.
其他坐标面同理：
消去曲线方程组中的变量x\,x\,x得到方程H(y,z)\,H(y,z)H(y,z)，再与x=0\,x=0\,x=0联立即可得到Γ\,\Gamma\,Γ在yOz\,yOz\,yOz平面的投影曲线：
Γ′:{H(y,z)=0，x=0，\Gamma':\begin{cases}H(y,z)=0，\\ x=0，\end{cases}Γ′:{H(y,z)=0，x=0，
消去曲线方程组中的变量y\,y\,y得到方程H(x,z)\,H(x,z)H(x,z)，再与y=0\,y=0\,y=0联立即可得到Γ\,\Gamma\,Γ在zOx\,zOx\,zOx平面的投影曲线：
Γ′:{H(x,z)=0，y=0，\Gamma':\begin{cases}H(x,z)=0，\\ y=0，\end{cases}Γ′:{H(x,z)=0，y=0，
(3) 空间曲线的切线
曲线以参数方程形式给出
对于空间曲线Γ:{x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t).\,\Gamma:\begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\\ z=\omega(t).\end{cases}Γ:⎩⎪⎨⎪⎧x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t).，在t=t0\,t=t_0\,t=t0点切线的方向向量 (称为切向量) 为：
T⃗={φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)}\color{Purple}\vec{T}=\{\varphi'(t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0)\}T={φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)}
切线方程：x−x0φ′(t0)=y−y0ψ′(t0)=z−z0ω′(t0)\color{Purple}\frac{x-x_0}{\varphi'(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi'(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega'(t_0)}φ′(t0)x−x0=ψ′(t0)y−y0=ω′(t0)z−z0
曲线以一般形式给出
曲线如果以一般形式给出：
Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
则曲线切向量为：
T⃗=n1⃗×n2⃗={Fx′,Fy′,Fz′}×{Gx′,Gy′.Gz′}\color{Purple}\vec{T}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=\{F'_x,F'_y,F_z'\}\times\{G'_x,G'_y.G'_z\}T=n1×n2={Fx′,Fy′,Fz′}×{Gx′,Gy′.Gz′}
得到切向量和曲线上某一点即可得到切线方程.
也可将曲线的一般式方程转化为参数式方程求解.
(4) 空间曲线的法平面
曲线以参数方程形式给出 (常考)
对于空间曲线Γ:{x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t).\,\Gamma:\begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\\ z=\omega(t).\end{cases}Γ:⎩⎪⎨⎪⎧x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t).，在t=t0\,t=t_0\,t=t0点法平面的法向量为：
n⃗={φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)}\color{Purple}\vec{n}=\{\varphi'(t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0)\}n={φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)}
法平面方程：
φ′(t0)(x−x0)+ψ′(t0)(y−y0)+ω′(t0)(z−z0)=0\color{Purple}\varphi'(t_0)(x-x_0)+\psi'(t_0)(y-y_0)+\omega'(t_0)(z-z_0)=0φ′(t0)(x−x0)+ψ′(t0)(y−y0)+ω′(t0)(z−z0)=0
曲线以一般形式给出
曲线如果以一般形式给出：
Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
则曲线法平面的法向量为：
n⃗=n1⃗×n2⃗={Fx′,Fy′,Fz′}×{Gx′,Gy′.Gz′}\color{Purple}\vec{n}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=\{F'_x,F'_y,F_z'\}\times\{G'_x,G'_y.G'_z\}n=n1×n2={Fx′,Fy′,Fz′}×{Gx′,Gy′.Gz′}
得到法向量和曲线上某一点即可得到法平面方程.
也可将曲线的一般式方程转化为参数式方程求解.
再次强调：切线的切向量就是法平面的法向量.
3 空间平面与空间直线
(一) 空间平面方程
一般式方程Ax+By+Cz+D=0\color{Purple}Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0
平面法向量为n⃗={A,B,C}\,\vec{n}=\{A,B,C\}n={A,B,C}. 尤其小心当x\,xx、yyy、zz\,z的系数存在0\,0\,0时，其对应法向量分量也为0\,00，不要错把D\,D\,D当作法向量分量.
点法式方程：
设M0(x0,y0,z0)∈π\,M_0(x_0,y_0,z_0)\in\piM0(x0,y0,z0)∈π，法向量n⃗={A,B,C}⊥π\,\vec{n}=\{A,B,C\}\perp\pin={A,B,C}⊥π，则平面方程为
π:A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0\pi:\color{Purple}A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0π:A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
截距式方程：
π:xa+yb+zc=1\pi:\color{Purple}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1π:ax+by+cz=1
三点式方程：
设平面过不共线的三点Pi(xi,yi,zi)\,P_i(x_i,y_i,z_i)Pi(xi,yi,zi)，i=1,2,3i=1,2,3i=1,2,3.
∣x−x1x−x2x−x2y−y1y−y2y−y3z−z1z−z2z−z3∣=0\color{Purple}\begin{vmatrix} x-x_1& x-x_2& x-x_2\\ y-y_1& y-y_2& y-y_3 \\ z-z_1& z-z_2& z-z_3 \end{vmatrix}=0∣∣∣∣∣∣x−x1y−y1z−z1x−x2y−y2z−z2x−x2y−y3z−z3∣∣∣∣∣∣=0
平面束方程：
过同一直线的所有平面称为平面束.
经过直线L:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\,L:\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}\,L:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0的平面束方程为：
A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0\color{Purple}A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0 要求A1\,A_1A1、B1B_1B1、C1C_1\,C1与A2\,A_2A2、B2B_2B2、C2C_2\,C2不成比例.
平面束方程的Bug\,\bm{\text{Bug}}Bug：方程A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0\,A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\,A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0中并不包含平面A2x+B2y+C2z+D2=0\,A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0A2x+B2y+C2z+D2=0. 因此，需要确定所求平面不是A2x+B2y+C2z+D2=0\,A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\,A2x+B2y+C2z+D2=0才能使用该方程. 同理，如果确定所求平面不是A1x+B1y+C1z+D1=0\,A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\,A1x+B1y+C1z+D1=0，那么可设平面束方程为：μ(A1x+B1y+C1z+D1)+A2x+B2y+C2z+D2=0\mu(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0μ(A1x+B1y+C1z+D1)+A2x+B2y+C2z+D2=0. 最严谨的平面束方程为：μ(A1x+B1y+C1z+D1)+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0\mu(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0μ(A1x+B1y+C1z+D1)+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0，但由于含有两个参数，通常不会直接使用.
(二) 空间直线方程
一般式方程：
L:{A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.{L:}\begin{cases}{\color{Purple}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,}\\ {\color{Purple}A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.}\end{cases}L:{A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.
点向式方程 (对称式方程)：
设向量s⃗={m,n,p}//L\,{\color{Blue}\vec{s}=\{m,n,p\}}\,\,\,/\kern -0.8em /\,\,\,Ls={m,n,p}//L，点M0(x0,y0,z0)∈L{\color{Blue}\,M_0(x_0,y_0,z_0)}\in LM0(x0,y0,z0)∈L，则直线L\,L\,L的点向式方程为：
L:x−x0m=y−y0n=z−z0pL:\color{Purple}\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}L:mx−x0=ny−y0=pz−z0
其中：s⃗={m,n,p}\color{Blue}\vec{s}=\{m,n,p\}\,s={m,n,p}为直线的方向向量.
注意：
(1) 注意x\,xx、yyy、zz\,z的系数，必须都为1\,11，{m,n,p}\,\{m,n,p\}\,{m,n,p}才是方向向量.
如：x−1−2=2y+1−4=z1\frac{x-1}{-2}=\frac{2y+1}{-4}=\frac{z}{1}\,−2x−1=−42y+1=1z的法向量就是：s⃗={−2,−2,1}\vec{s}=\{-2,-2,1\}s={−2,−2,1}
(2) 求出的点向式方程，mmm、nnn、pp\,p注意化简.
参数式方程：
设向量s⃗={m,n,p}//L\,{\color{Blue}\vec{s}=\{m,n,p\}}\,\,\,/\kern -0.8em /\,\,\,Ls={m,n,p}//L，点M0(x0,y0,z0)∈L{\color{Blue}\,M_0(x_0,y_0,z_0)}\in LM0(x0,y0,z0)∈L，则直线L\,L\,L的参数式方程为：L:{x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt.L:\color{Purple}\begin{cases}x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+pt.\end{cases}L:⎩⎪⎨⎪⎧x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt.
两点式方程：
已知直线上两点M1(x1,y1,z1)\,M_1(x_1,y_1,z_1)M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)M_2(x_2,y_2,z_2)M2(x2,y2,z2)，直线方程为：
x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1\color{Purple}\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}x2−x1x−x1=y2−y1y−y1=z2−z1z−z1
(三) 求距离
(1) 两点之间的距离
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\color{Purple}d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
(2) 点到平面的距离
设平面π:Ax+By+Cz+D=0\,\pi:Ax+By+Cz+D=0π:Ax+By+Cz+D=0，且M0(x0,y0,z0)∉π\,M_0(x_0,y_0,z_0)\notin\piM0(x0,y0,z0)∈/π，则M0\,M_0\,M0到平面π\,\pi\,π的距离为：d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\color{Purple}d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣
(3) 两平行平面之间的距离
π1:Ax+By+Cz+D1=0\pi_1:Ax+By+Cz+D_1=0\,π1:Ax+By+Cz+D1=0与π2:Ax+By+Cz+D2=0\,\pi_2:Ax+By+Cz+D_2=0\,π2:Ax+By+Cz+D2=0为两个平行平面，则二者距离为：d=∣D2−D1∣A2+B2+C2\color{Purple}d=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}d=A2+B2+C2∣D2−D1∣
(4) 点到直线的距离
考虑以∣s⃗∣\,|\vec{s}|\,∣s∣为底，hh\,h为高的三角形面积：
∣M0M1→×s→∣=∣s→∣⋅h\color{Purple}\big|\overrightarrow{M_0M_1}\times{\overrightarrow{s}}\big|=\big|\overrightarrow{s}\big|\cdot h∣∣M0M1×s∣∣=∣∣s∣∣⋅h
注意：向量s⃗\,\vec{s}\,s与MM0→\,\overrightarrow{MM_0}\,MM0一定要相同起点或相同终点，否则求出的就是另一个三角形的面积.
(5) 两异面直线之间的距离
L1:x−x1m1=y−y1n1=z−z1p1L_1:\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}L1:m1x−x1=n1y−y1=p1z−z1L2:x−x2m2=y−y2n2=z−z2p2L_2:\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}L2:m2x−x2=n2y−y2=p2z−z2
L1L_1\,L1与L2\,L_2\,L2异面的充分必要条件：
(s1→×s2→)⋅M1M2→≠0\color{Purple}(\overrightarrow{s_1}\times\overrightarrow{s_2})\cdot\overrightarrow{M_1M_2}\neq0(s1×s2)⋅M1M2=0
求异面直线之间距离的步骤：
step 1: 过M1\,M_1\,M1作直线L2′//L2\,L'_2\,\,\,/\kern -0.8em /\,\,\,L_2L2′//L2，求出L1\,L_1\,L1与L2′\,L'_2\,L2′所形成的平面π\,\piπ.
step 2: 两异面直线的距离即为M2(x2,y2,z2)\,M_2(x_2,y_2,z_2)\,M2(x2,y2,z2)到平面π\,\pi\,π之间的距离.
(6) 直线到平行平面的距离
可以直接转化为点到平面的距离问题. 即在直线上任取一点到平面的距离.
(四) 求夹角
(1) 两向量的夹角
由a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣cosθ\,\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\,\text{cos}\thetaa⋅b=∣a∣⋅∣b∣cosθ：
θ=arccosa⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\theta=\text{arccos}\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}θ=arccos∣a∣⋅∣b∣a⋅b
(2) 两平面的夹角
设两个平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0\,\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0π1:A1x+B1y+C1z+D1=0，π2:A2x+B2y+C2z+D2=0\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\,π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，法向量分别为n1⃗={A1,B1,C1}\,\vec{n_1}=\{A_1,B_1,C_1\}n1={A1,B1,C1}，n2⃗={A2,B2,C2}\vec{n_2}=\{A_2,B_2,C_2\}n2={A2,B2,C2}，夹角为θ(0⩽θ⩽π2)\,\theta\;(0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2})θ(0⩽θ⩽2π)，由cosθ=∣cos(n1⃗,n2⃗)^∣=n1⃗⋅n2⃗∣n1⃗∣⋅∣n2⃗∣，\,\text{cos}\theta=|\text{cos}\hat{(\vec{n_1},\vec{n_2})}|=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}，cosθ=∣cos(n1,n2)^∣=∣n1∣⋅∣n2∣n1⋅n2，
θ=arccosn1⃗⋅n2⃗∣n1⃗∣⋅∣n2⃗∣\theta=\text{arccos}\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}θ=arccos∣n1∣⋅∣n2∣n1⋅n2
(3) 两直线的夹角
L1:x−x1m1=y−y1n1=z−z1p1L_1:\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}L1:m1x−x1=n1y−y1=p1z−z1L2:x−x2m2=y−y2n2=z−z2p2L_2:\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}L2:m2x−x2=n2y−y2=p2z−z2s⃗1={m1,n1,p1}，s⃗2={m2,n2,p2}\vec{s}_1=\{m_1,n_1,p_1\}，\vec{s}_2=\{m_2,n_2,p_2\}s1={m1,n1,p1}，s2={m2,n2,p2}
设两直线夹角为θ(0⩽θ⩽π2)\,\theta\;(0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2})θ(0⩽θ⩽2π)，则：
θ=arccoss1⃗⋅s2⃗∣s1⃗∣⋅∣s2⃗∣\theta=\text{arccos}\frac{\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}}{|\vec{s_1}|\cdot|\vec{s_2}|}θ=arccos∣s1∣⋅∣s2∣s1⋅s2
(4) 直线与平面的夹角
L1:x−x0m=y−y0n=z−z0pL_1:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}L1:mx−x0=ny−y0=pz−z0π:Ax+By+Cz+D=0\pi:Ax+By+Cz+D=0π:Ax+By+Cz+D=0s⃗={m,n,p}，n⃗={A,B,C}\vec{s}=\{m,n,p\}，\vec{n}=\{A,B,C\}s={m,n,p}，n={A,B,C}
设L\,L\,L与π\,\pi\,π的夹角为θ(0⩽θ⩽π2)\,\theta\;(0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2})θ(0⩽θ⩽2π)，则
θ=arcsins⃗⋅n⃗∣s⃗∣⋅∣n⃗∣\theta=\text{arcsin}\frac{\vec{s}\cdot\vec{n}}{|\vec{s}|\cdot|\vec{n}|}θ=arcsin∣s∣⋅∣n∣s⋅n
(五) 平面与直线重要解题思路
直线
(1) 出现两点的反应：立即得到两点形成的向量.
(2) 出现三点的反应：立即得到两个由同一点射出的向量.
(3) 求直线方程的核心思路：找到一点和直线的方向向量.
(4) 将直线的点向式方程转换为一般式方程：
比如x−12=y1=z+13\,\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}2x−1=1y=3z+1，
一般式方程为：{x−12=y1x−12=z+13⇒{x−2y−1=03x−2z−5=0\begin{cases}\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}\\\frac{x-1}{2}=\frac{z+1}{3}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-2y-1=0\\3x-2z-5=0\end{cases}{2x−1=1y2x−1=3z+1⇒{x−2y−1=03x−2z−5=0
(5) 将直线的一般式方程转换为点向式方程：
step 1：(确定直线上的一点)：任找一点，符合一般式方程.
step 2：(确定直线方向向量)：确定一般式方程中的两个平面方程的法向量，将两个法向量做叉乘即可得到直线的方向向量.
(6) 将直线的点向式方程转换为参数式方程：
令L:x−x0m=y−y0n=z−z0p=t⇒{x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt.\,L:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t\Rightarrow\begin{cases}x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+pt.\end{cases}L:mx−x0=ny−y0=pz−z0=t⇒⎩⎪⎨⎪⎧x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt.
(7) 将直线的参数式方程转换为点向式方程：
L:{x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt.⇒{x−x0m=t,y−y0n=t,z−z0p=t.⇒x−x0m=y−y0n=z−z0pL:\begin{cases}x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+pt.\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\frac{x-x_0}{m}=t,\\ \frac{y-y_0}{n}=t,\\ \frac{z-z_0}{p}=t.\end{cases}\Rightarrow\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}L:⎩⎪⎨⎪⎧x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt.⇒⎩⎪⎨⎪⎧mx−x0=t,ny−y0=t,pz−z0=t.⇒mx−x0=ny−y0=pz−z0
(8) 将直线的参数式方程转换为一般式方程：先转换为点向式方程.
(9) 将直线的一般式方程转换为参数式方程：先转换为点向式方程.
平面
(1) 求平面方程的核心思路：找到平面内一点和平面的法向量.
(2) 平面与平面平行：π1:A1x+B1y+C1z+D1=0//π2:A2x+B2y+C2z+D2=0\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\,\,\,/\kern -0.8em /\,\,\,\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0π1:A1x+B1y+C1z+D1=0//π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，则A1A2=B1B2=C1C2\,\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}A2A1=B2B1=C2C1.
(3) 求平行于已知平面的平面：设一般式方程 (仅D\,D\,D不同)，利用其他条件求出D\,D\,D.
(4) 求平行平面之间的等距平面：先得到法向量n⃗={a,b,c}\,\vec{n}=\{a,b,c\}n={a,b,c}，然后设一般方程ax+by+cz+D=0\,ax+by+cz+D=0ax+by+cz+D=0，利用等距关系解出D\,D\,D即可.
(5) 求垂直于已知平面的平面：
通常有两种思路：
a. 将已知平面的法向量与待求平面的某一方向向量叉乘.
b. 平面束方程.
直线与平面
(1) 先求交点：只要看出已知直线与已知平面相交，就要立刻求出交点.
(2) 求直线点向式方程与平面的交点：将直线转换为参数方程，再代入平面求解.
(3) 求平行于两条直线的平面方程 (或过直线平行于另一条直线的平面方程、过两条直线的平面方程)：这两条直线方向向量的叉乘，即为所求平面的法向量 (因为平面与两条直线都平行).
(六) 对称点问题
问法：求过点M(a1,b1,c1)\,M(a_1,b_1,c_1)\,M(a1,b1,c1)关于平面π:Ax+By+Cz+D=0\,\pi:Ax+By+Cz+D=0\,π:Ax+By+Cz+D=0的对称点的坐标.
思路：
step 1: 过M\,M\,M点作垂直于平面π\,\pi\,π的直线L:x−a1A=y−b1B=z−c1C\,L:\frac{x-a_1}{A}=\frac{y-b_1}{B}=\frac{z-c_1}{C}L:Ax−a1=By−b1=Cz−c1，写出直线L\,L\,L的参数式方程；
step 2: 将直线L\,L\,L代入平面方程解得交点T\,T\,T的坐标.
step 3: 设对称点坐标为M′(a,b,c)\,M'(a,b,c)\,M′(a,b,c)，由M′\,M'M′，TTT，MM\,M三点的中点关系解出a、b、c\,a、b、c\,a、b、c.
|PM|+|MQ|最小：中学解析几何经典问题的进化版. 已知两点P\,PP、QQQ，在平面π\,\pi\,π上找一点M\,M\,M，使得∣PM∣+∣MQ∣\,|PM|+|MQ|\,∣PM∣+∣MQ∣最小. 找P\,PP、QQ\,Q两点任一点(比如P\,PP)关于π\,\pi\,π的对称点P′\,P'\,P′，则P′Q\,P'Q\,P′Q与π\,\pi\,π的交点即为所求M\,MM.
(七) 共线共面问题
(1) 判断三点是否共线：三点得到的两个向量成比例则共线，不成比例则不共线.
(2) 判断两条直线是否共面：(s1⃗×s2⃗)⋅M1M2→=0(\vec{s_1}\times\vec{s_2})\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=0(s1×s2)⋅M1M2=0.
(3) 判断三个向量是否共面：检查混合积：(α⃗,β⃗,γ⃗)=0\,(\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma})=0(α,β,γ)=0.
(4) 三点确定的平面：三点构造两个向量，叉乘即得平面法向量，使用点法式得到平面方程.
(八) 投影直线问题
求直线在平面上的投影直线，有下面三种思路：
(1) 使用平面束，平面束确定的平面(与平面已知垂直)与已知平面的交线即为所求投影直线.
(2) 先求直线与平面的交点，再通过将直线方向向量与已知平面法向量叉乘，得到过直线与已知平面垂直的平面的法向量，进而求出该平面的点法式方程，将该平面与已知平面联立即为所求投影直线.
(3) 设过直线与已知平面垂直的平面的一般式方程求解.
(九) 直线绕坐标轴旋转形成曲面
设L:x−am=y−bn=z−cp\,L:\frac{x-a}{m}=\frac{y-b}{n}=\frac{z-c}{p}\,L:mx−a=ny−b=pz−c为三维空间的直线，求直线L\,L\,L绕z\,z\,z轴旋转而成曲面方程. 求法如下：
step 1：设L\,L\,L绕z\,z\,z轴旋转而成的曲面为Σ\,\Sigma\,Σ，任取M(x,y,z)∈Σ\,M(x,y,z)\in\SigmaM(x,y,z)∈Σ，MM\,M所在的圆位于L\,L\,L上的点为M0(x0,y0,z)∈L\,M_0(x_0,y_0,z)\in LM0(x0,y0,z)∈L，圆心为T(0,0,z)\,T(0,0,z)T(0,0,z).
step 2：由∣MT∣=∣M0T∣\,|MT|=|M_0T|∣MT∣=∣M0T∣，得x2+y2=x02+y02\,x^2+y^2=x_0^2+y_0^2x2+y2=x02+y02.
step 3：因为M0(x0,y0,z)∈L\,M_0(x_0,y_0,z)\in LM0(x0,y0,z)∈L，所以L:x0−am=y0−bn=z−cp\,L:\frac{x_0-a}{m}=\frac{y_0-b}{n}=\frac{z-c}{p}L:mx0−a=ny0−b=pz−c，分别解出x0\,x_0x0、y0y_0\,y0关于z\,z\,z的关系. 代回x2+y2=x02+y02\,x^2+y^2=x_0^2+y_0^2\,x2+y2=x02+y02即为曲面方程.
4 椭圆切线方程与椭球体切面方程
(1) 切线方程
设椭圆方程：x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2+b2y2=1
则过椭圆上一点P(x0,y0)\,P(x_0,y_0)\,P(x0,y0)的切线方程为：
xx0a2+yy0b2=1\color{Purple}\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1a2xx0+b2yy0=1
注意：题目给出切线与坐标轴交点(m,0)\,(m,0)\,(m,0)和椭圆方程，也可求出切线方程：
step1. 设切点坐标为(x0,y0)\,(x_0, y_0)(x0,y0)，则切线方程为xx0a2+yy0b2=1\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1a2xx0+b2yy0=1.
step2. 代入(m,0)\,(m,0)\,(m,0)即可解出切线方程.
(2) 切面方程
设椭球体方程：x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1a2x2+b2y2+c2z2=1
则过椭球体上一点P(x0,y0,z0)\,P(x_0,y_0,z_0)\,P(x0,y0,z0)的切线方程为：
xx0a2+yy0b2+zz0c2=1\color{Purple}\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}+\frac{zz_0}{c^2}=1a2xx0+b2yy0+c2zz0=1
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