2.1 量纲分析方法

根据物理公式 $pV=nRT$ ，我们很容易得出理想气体常数R的量纲

换个角度思考，根据量纲我们是否能得到有关未知物理公式的有用结论？量纲分析方法就是为此而生

2.1.1 量纲

定量描述一个物理概念总离不开其特性，比如时间、质量、密度、力等，这些表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”，记为【 · 】.当用数学公式描述一物理量时，等号的两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性。

2.1.2 量纲齐次原则

定理（Buckingham Pi）设有 $m$ 个物理量 $q_{1},q_{2},\cdot \cdot \cdot ,q_{m}$ ，满足某定律：

$f(q_{1},q_{2},\cdot \cdot \cdot ,q_{m})=0$

$X_{1},X_{2},\cdot \cdot \cdot ,X_{n}$ 是基本量纲 $(n\leqslant m)$ . $q_{j}$ 的量纲可以表示为 $[q_{j}]=\prod_{i=1}^{n}{X_i}^{a_{ij}}(j=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,m)$

矩阵 $A=(a_{ij})_{n\times m}$ 称为量纲矩阵，若其秩rank=r，可设线性齐次方程组 $AY=0$ （Y是m维），有 $m-r$ 个基本解为 $y_k=(Y_{k1},Y_{k2},\cdot \cdot \cdot ,Y_{k_m} )^T(k=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,m-r)$ ，则 $\pi_k=\prod_{j=1}^{m}q_j^{Y_{k_j}}$

为m-r个相互独立的无量纲的量，且有 $F(\pi_1,\pi_2,\cdot\cdot\cdot,\pi_{m-r})=0\Leftrightarrow f(q_1,q_2,\cdot\cdot\cdot,q_m)=0$ ,F为一未知函数

心得：这段话写的非常绕，简而言之，就是调整相关量q的指数能够得到无量纲数（我们可以设为 $\pi$ ），通过调整解我们可以得到一些有用的物理结论

2.1.3 量纲分析的一般步骤和例子

列出所有可能涉及到的物理量并找出他们的量纲
使用Buckingham's PI Theorem找出不相关无量纲物理量的组
利用各个不相关无量纲物理量的组是无量纲的特点，去得到各个物理量之间的指数关系

例子：空间点热源的扩散问题

设初始时刻t=0在空间中有一热量为e的瞬时热源位于原点处（r=0），热量通过介质想无穷空间扩散，介质的初始温度为0，试从量纲角度研究点热源的扩散规律。

分析：设u=u（r，t，e，c，k），c是介质的比热容，k是介质的扩散系数由物理公式 $q=-k\frac{\partial u}{\partial r}$ 确定（q是单位时间通过单位面积的热量）

现在我们分析一下各物理量的量纲

$[e]=[F]*[r]=L^2MT^{-2}$

$[c]=[e]/L^3[u]=L^{-1}MT^{-2}\theta ^{-1}$

$[k]=\frac{[e]}{TL^2[\frac{\partial u}{\partial r}]}=LMT^{-3}\theta^{-1}$

解线性方程组AY=0可得

这样我们就得到了两个相互独立的无量纲的量

且有 $F(\pi1,\pi2)=0\Leftrightarrow f(u,r,t,e,c,k)$ =0,

注意，这里的函数g是未知的，有时候我们要依靠实验数据进行模拟检验推测函数g

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