1 什么是二项式？

什么是二项式，得先从单项式，多项式说起

1.1 表达式

1.1.1数学上，表达式包罗万象，一般就是包含数字，变量，符号得式子，得有意义。

表达式分类

数值表达式

代数表达式（算术表达式，数值表达式）,+-* %

解析式

等式: 恒等式，方程等式

不等式

逻辑表达式（关系式）< > = and or not

文本表达式

通式，和上面概念不同体系，是指有个项目时，用一个式子表示所有项得规律

1.1.2 编程上得表达式

编程上，表达式就是一个计算式子吧
表达式如果是赋值得，也可以是一条语句

1.1.3 表达式都是函数，可视为函数

表达式都是函数，因为有输入，有输出

1.2 单项式

单项式就是，表达式里只有1项目
一般是一个单独得数字*变量等得乘积
单项式就是，不包含 +-%/运算符合

1.3 多项式

在数学中，多项式（polynomial）是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算（非负整数次方）得到的表达式
多项式包含符号
一般多项式 ax+by+cz 或 ax^2+by+c
多项式得项，一般需要先进行同类型合并，比如(a+b)^n 不合并是2n项，合并后n+1项
多项式的次，是最高的项的次，比如 x^3+2x^2+1 就是1个3次多项式

1.3.1 二项式

二项式，只能算一种特殊得多项式（2个项）
一般二项式： ax+b
n次二项式： (a+b)^n

2 二项式定理

2.1 二项式展开定理

二项式定理是牛顿发明得展开式
(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 +C(n,1)*a^n-1*b^1 +… +C(n,n)*a^0*b^n
通项 C(n,k)*a^n-k*b^k

2.2 二项式定理的各种推论

2.2.1 二项式系数之和 =2^n的展开式

(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^n-1*b^1+…+C(n,n)*a^0*b^n
当 a=1,b=1 (a+b)^n = C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)
用展开式取特殊值就证明了
2^n = C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)

2.2.2 二项式系数奇数项之和 = 奇数项之和=2^(n-1)

当 a=-1,b=1
(a+b)^n = C(N,0)-C(N,1)+…+C(N,n)
= 0
从而有 C(N,0)+C(N,2)+C(N,4)+C(N,6)+…= C(N,1)+C(N,3)+C(N,5)+C(N,7)+…
从而有 2^n/2 =C(N,0)+C(N,2)+C(N,4)+C(N,6)+…= C(N,1)+C(N,3)+C(N,5)+C(N,7)+…
从而有 2^(n-1) =C(N,0)+C(N,2)+C(N,4)+C(N,6)+…= C(N,1)+C(N,3)+C(N,5)+C(N,7)+…

2.2.3 这个序列的增减性和最大值

先增后减
中间的值最大（或者中间的2项都是最大）

2.2.4 这个序列的更多规律，参见杨辉三角（也叫帕斯卡三角）

可以看到，二项式展开的系数，刚好是杨辉三角里的系数

3 二项式的其他展开

3.1 二项式的手动展开

回到行列数，矩阵的基本计算

(a+b)^2
   =   (a+b)(a+b)
   =   a*(a+b)+b*(a+b)
   =   a^2+2ab+b^2

       (a+b)^3
   =   (a+b)^2*(a+b)
   =   (a+b)*(a^2+2ab+b^2)

= a^3+3ab^2+3a^2b+b^3

3.2 二项式的矩阵形式

得复习线性代数了。。。

3.3 用排列组合知识来理解二项式和二项式系数

比如对通项 C(n,k)*a^n-k*b^k
可以理解为从 a^n-k*b^k 有 c(n,k)种选择方法，且不排序
选择方法有 C(n,k)

3.4 还可以通过，画树状图来理解

第1步，4
第2步，3
第3步，2
这个就是 C(n,k) = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)

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1.1 表达式

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1.1.2 编程上得表达式

1.1.3 表达式都是函数，可视为函数

1.2 单项式

1.3 多项式

1.3.1 二项式

2 二项式定理

2.1 二项式展开定理

2.2 二项式定理的各种推论

2.2.1 二项式系数之和 =2^n的展开式

2.2.2 二项式系数奇数项之和 = 奇数项之和=2^(n-1)

2.2.3 这个序列的增减性和最大值

2.2.4 这个序列的更多规律，参见杨辉三角（也叫帕斯卡三角）

3 二项式的其他展开

3.1 二项式的手动展开

3.2 二项式的矩阵形式

3.3 用排列组合知识来理解二项式和二项式系数

3.4 还可以通过，画树状图来理解

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2.2.2 二项式系数奇数项之和 = 奇数项之和=2^(n-1)

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