在设计控制图时，需要了解

-控制限的计算公式

-合理子组原则

我们本篇继续探讨子组样本量大小和抽样频率。

在前几篇内容得知，考虑控制限的计算(比如均值极差图)，为了用样本极差对标准差进行有效的估计，子组样本量可以取3到10，当然最多被采用的是4到5。

那么，从控制图的控制特性的角度，还有哪些原则来考虑样本量大小的选择呢？

首先，应该考虑要试图检测的过程偏移量的大小，较大的样本量更容易检测出过程的微小偏移，过程偏移较大时所用的样本量要比过程偏移小时的样本量小。

这一点可以从最小样本量MSS的计算公式来理解：

s是样本标准差；d是对检验均值或检验过程偏移的精度

显然，d越小样本量就越大，d的选取需要考虑对过程的要求和借鉴过程的历史经验。

另外通过分析不同样本量下的均值图的操作特性(OC)曲线也可以看出样本量对检出过程均值偏移的概率的影响：

这里仅作形象展示，数值没有经过推导计算

假设过程均值偏移1.5σ，样本量为5的控制图有约35%的点还在控制限内，即有35%的概率得出过程没有偏移的误判，相比之下样本量为10的控制图仅有10%的概率出现漏判。

关于抽样的频率，为了探测出过程的偏移，我们需要在每个可能的变化点都要取样，如下图所示，在时间周期T内，应该抽取4次而非1次更为合理。

现实情况中我们很难清楚知道过程中的所有的变化，所以一种理想的情况是非常频繁地抽取大样本，然而经济上往往不可行。一般在选择抽样频率时，要么在短间隔内抽取小样本，要么在长时间间隔内抽取大样本。

比如在有自动测量装置的生产线，如压出的温度、尺寸，生产批量大测量频次高，可以采取理想的短间隔大样本的方式，甚至考虑实时在线的过程控制；再如密炼的胶料特性因为是抽检且要在快检室进行较长时间检测，这种尽量考虑短间隔小样本的方式。

SPC手册第二章中关于子组频率的阐述中，举例说每15分钟一次或每班两次，可以说是对短间隔和长间隔的举例，但是是否适用我们的实际情况呢，借鉴需谨慎。

在确定样本量大小和抽样频率时，还要用到“平均运行长度-ARL”的概念，来平衡第I类错误风险(过渡控制、虚发报警)和第II类风险(控制不足、漏发报警)。

平均运行长度(average running length)是失控信号之间所期望的样本子组的数量。

过程受控时的平均运行长度用ARL0表示，我们希望受控的ARL0越大越好。

α代表第一类错误，P(α)就是发生第一类错误的概率。

过程失控时的平均运行长度用ARL1表示，我们希望失控的ARL1越小越好

β代表第二类错误，P(β)就是发生第二类错误的概率。

假设控制限取3σ、样本量n取5

当过程处于控制状态时，p=0.0027是单个点超出控制限的概率，也就是P(α)。因此，平均运行长度ARL0=1/0.0027=370

也就是说，即使过程保持在控制中，平均每370个样本将产生一个失控信号。

不过，由于运行长度是一种几何分布，它的标准差近似等于其平均值，导致RL的分布非常宽泛，比如它的10%分位数是38。就是说每38个点之后就有10%的概率出现一次虚发报警。

除了超出控制限，通常还用到“连续6点递增”等其它七条判异准则，这些准则实际上会使ARL进一步降低。(可参考SPC手册第二章，平均运行长度)

从客户的角度，虚发报警对我们也是有益的，可以引发对过程的关注，但是需要注意在没有对过程分析之前不要凭主观经验对过程进行干预，避免对过程过渡调整。

假设控制限取3σ、过程均值偏移1σ，P(β)随样本大小的变化如下表所示

当n=5时，过程发生偏移但漏发警报的概率P(β)=0.78。因此，平均运行长度ARL1=1/(1-0.78)=4.5

就是说，即使过程已经发生偏移，但仍需要平均4.5个样本子组之后才能探测出过程的偏移。

此时增大样本量可以比较小的样本量更快地检测到位移，比如：当n=10时，过程发生偏移但漏发警报的概率P(β)=0.47。因此，平均运行长度ARL1=1/0.53=1.9，即探测出偏移的子组数降低为1.9。

如果过程的偏移所产生的后果比较严重时，比如产品批量报废、产品缺陷很难被检测出等，需要考虑增大样本量，增加控制图对过程波动的敏感度。

随着样本量的增大，均值控制图的控制限会变窄，可以降低第二类风险，同时第一类风险的相对增大不会给我们带来严重的后果。

但是样本量不是任意的扩大，还要遵循合理子组的原则：组内只包含普通原因变差，子组间主要包含特殊原因变差。

另外，当样本量n>=10时，控制图类型的选择也要发生变化，控制限的计算也随之变化。控制图类型和样本量的关系我们后续再讨论。

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