高斯消元解线性方程组

文章目录

基础知识
算法步骤
举个例子模拟一下算法
例题和代码

基础知识

高斯消元可以通过初等行列变化把增广矩阵转换成阶梯型矩阵，进而求解 n 个线性方程组的解，其时间复杂为 O(n^3)

初等行列变换：(对一个方程组进行以下三个操作不会影响方程的解)

把某一行乘一个非0的数（方程左右两边同乘）
交换某两行的位置
把某一行的若干倍加到另一行上

例如线性方程组为：

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + … + a_2nx_n = b₂
…
a_n1x₁ + a_n2x₂ + a_n3x₃ + … + a_nnx_n = b_n

则增广矩阵为：

a11  a12  a13 ...  a1n  b1
a21  a22  a23 ...  a2n  b2.       ..
a21  a22  an3 ...  ann  bn

经过三种初等行列变换，上面的增广矩阵就可以形成一个阶梯型矩阵：

a11  a12  a13 ...  a1n  b1a22  a23 ...  a2n  b2.       ..ann  bn

算法步骤

枚举每一列 c：
① 找到列 c 绝对值最大的一行
② 将该行换到最上面
③ 将该行第一个数变成 1 （即第 c 列的数变成 1）
④ 将下面所有行第 c 列消成 0

每枚举一列，都能将一行换到最上面(绝对值最大为 0 除外)，换到最上面说明当前这行已经固定了，所以，下次枚举某一列时，将绝对值最大的那一行换到最上面时(即②步骤)，并不是换到第一行，而是换到没有固定的行的最上面，同样，步骤①也是在未固定的行中找绝对值最大的。

答案有三种解：
如果经过以上步骤得到的是一个完美阶梯型矩阵（即得到 n 个唯一方程，即每个方程不会被另一个方程表示出来），说明有唯一解。

如果转换后出现 0==0 的方程，说明这个方程可以被其他方程表示出来，说明有多组解。(n元方程组要想有唯一解，需要有n个唯一的方程)

如果转换后出现 0==非0 的方程，说明无解。

举个例子模拟一下算法

若方程组为：
x₁ + 2x₂ - x₃ = -6
2x₁ + x₂ - 3x₃ = -9
-x₁ - x₂ + 2x₃ = 7

则增广矩阵为：

1  2  -1  -6
2  1  -3  -9
-1  -1  2  7

枚举第 1 列：

① 找到第 1 列绝对值最大的一行

② 将该行换到最上面

③ 将该行第一个数变成 1（即第 1 列）
注：橙色字体为已经固定的行

④ 将下面所有行第 1 列消成 0

枚举第 2 列：
① 找到第 2 列绝对值最大的一行

② 将该行换到最上面

该行其实已经在未固定行中的最上面了

③ 将该行第一个数变成 1（即第 2 列）

④ 将下面所有行第 c 列消成 0

枚举第 3 列：
① 找到第 3 列绝对值最大的一行

② 将该行换到最上面

该行其实已经在未固定行中的最上面了

③ 将该行第一个数变成 1 （即第 c 列的数变成 1）

④ 将下面所有行第 c 列消成 0
这一行已经是最后一行了，没有下面的行了

枚举完所有列后，我们发现这个矩阵是完美阶梯矩阵，说明是有唯一解的

确定有唯一解后，从最后一行开始向上回代，第三行直接可求出 x₃ = 3，然后将 x₃ 回代到第二行，求出 x₂ = -2，再将 x₁、x₂ 回代到第一行，求出 x₁ = 1。
综上
x₁ = 1
x₂ = -2
x₃ = 3

例题和代码

AcWing 883. 高斯消元解线性方程组

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 105;
const double eps = 1e-6; //如果 x < eps，就说明 x 是等于0的
int n;
double a[N][N];int gauss()
{int c, r; // c 是列数、r 是行数for(c = 0, r = 0; c < n; c++) //枚举每一列 {int t = r;for(int i=r; i<n; i++) // 找到第 c 列的值最大的是哪一行 if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))t = i;if(fabs(a[t][c]) < eps) continue; //当前这一列最大值都为 0，说明这一列所有系数都为0for(int i=c; i<=n; i++) swap(a[t][i],a[r][i]); //把绝对值最大的这行(即第t行)换到当前最上面去(第r行)for(int i=n; i>=c; i--) a[r][i] /= a[r][c]; //把第t行第一个数变成1(方程所有数同除第一个数即可)//要先处理最后一个数，因为如果先处理第一个数，第一个数先变为1了，后面所有数就会都除1而不是第一个数for(int i =r+1; i<n; i++) //枚举从 r+1 的每一行，把第 c 列的数全部消成 0 if(fabs(a[i][c]) > eps) //如果已经 ==0 ，就不用消了for(int j=n; j>=c; j--) //枚举这一行的每个数 a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c]; //每个数减去a[i][c] * a[r][j] 即可 r++; //该下一行了                                              }if(r < n) //说明剩下的方程数小于 n 个，需要判断是 无解 还是 有多组解 { //现在已经是阶梯型，所有系数都应该为0，如果等式右边a[i][n] != 0，说明无解 for(int i=r; i<n; i++)if(fabs(a[i][n]) > eps)return 2;  //无解return 1; //多组解，说明 r~n-1的这些方程是可以被 0~n 的某些方程表示出来的}//有唯一解，从下向上回代，依次求解 for(int i=n-1; i>=0; i--) //从下向上枚举每一行 for(int j=i+1; j<n; j++) a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];return 0;
} int main()
{cin >> n;for(int i=0; i<n; i++)for(int j=0; j<n+1; j++)cin >> a[i][j];int t = gauss();if(t == 0) //有唯一解 {for(int i=0; i<n; i++) printf("%.2lf\n",a[i][n]);}      else if(t == 1) printf("Infinite group solutions\n"); //有多组解else printf("No solution\n"); //无解
}