例题三
- 例3.24 求下列函数所指定阶的导数。
- - （2）y=x2sin⁡2xy=x^2\sin2xy=x2sin2x，求y(50)y^{(50)}y(50)。
- 例3.25 设f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan xf(x)=arctanx，求f(n)(0)f^{(n)}(0)f(n)(0)。
新版例题三
- 例3.4
- 例3.5
- 例3.6
新版例题四
- 例4.16
- 例4.17
新版习题四
- 4.8
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本章主要介绍了一元函数微分学的概念与计算。

例题三

例3.24 求下列函数所指定阶的导数。

（2）y=x2sin⁡2xy=x^2\sin2xy=x2sin2x，求y(50)y^{(50)}y(50)。

解因y=x2sin⁡2xy=x^2\sin2xy=x2sin2x，即y=(sin⁡2x)⋅x2y=(\sin2x)\cdot x^2y=(sin2x)⋅x2，所以
y(50)=(sin⁡2x)(50)⋅x2+50(sin⁡2x)(49)⋅(x2)′+50⋅492!(sin⁡2x)(48)⋅(x2)′′=250x2sin⁡(2x+50π2)+50⋅249⋅2xsin⁡(2x+49π2)+25⋅49⋅248⋅2sin⁡(2x+48π2)=250(−x2sin⁡2x+50xcos⁡2x+12252sin⁡2x).\begin{aligned} y^{(50)}&=(\sin2x)^{(50)}\cdot x^2+50(\sin2x)^{(49)}\cdot(x^2)'+\cfrac{50\cdot49}{2!}(\sin2x)^{(48)}\cdot(x^2)''\\ &=2^{50}x^2\sin\left(2x+\cfrac{50\pi}{2}\right)+50\cdot2^{49}\cdot2x\sin\left(2x+\cfrac{49\pi}{2}\right)+25\cdot49\cdot2^{48}\cdot2\sin\left(2x+\cfrac{48\pi}{2}\right)\\ &=2^{50}\left(-x^2\sin2x+50x\cos2x+\cfrac{1225}{2}\sin2x\right). \end{aligned} y(50)=(sin2x)(50)⋅x2+50(sin2x)(49)⋅(x2)′+2!50⋅49(sin2x)(48)⋅(x2)′′=250x2sin(2x+250π)+50⋅249⋅2xsin(2x+249π)+25⋅49⋅248⋅2sin(2x+248π)=250(−x2sin2x+50xcos2x+21225sin2x).
（这道题主要利用了复合函数求导求解）

例3.25 设f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan xf(x)=arctanx，求f(n)(0)f^{(n)}(0)f(n)(0)。

解 f′(x)=11+x2f'(x)=\cfrac{1}{1+x^2}f′(x)=1+x21，于是f′(x)(1+x2)=1f'(x)(1+x^2)=1f′(x)(1+x2)=1。
注意到已经有f′(x)f'(x)f′(x)，两边再求(n−1)(n-1)(n−1)阶导数即可得到f(n)(x)f^{(n)}(x)f(n)(x)，故写出，由莱布尼兹公式，有
f(n)(x)(1+x2)+(n−1)f(n−1)(x)⋅2x+(n−1)(n−2)2!f(n−2)(x)⋅2=0.f^{(n)}(x)(1+x^2)+(n-1)f^{(n-1)}(x)\cdot2x+\cfrac{(n-1)(n-2)}{2!}f^{(n-2)}(x)\cdot2=0. f(n)(x)(1+x2)+(n−1)f(n−1)(x)⋅2x+2!(n−1)(n−2)f(n−2)(x)⋅2=0.
令x=0x=0x=0，代入上式并化简，得f(n)(0)=−(n−1)(n−2)f(n−2)(x)f^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(x)f(n)(0)=−(n−1)(n−2)f(n−2)(x)。由f(0)=0,f′(0)=1f(0)=0,f'(0)=1f(0)=0,f′(0)=1，得f(2k)(0)=0,f(2k+1)(0)=(−1)k(2k)!(k=0,1,2,⋯)f^{(2k)}(0)=0,f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k(2k)!(k=0,1,2,\cdots)f(2k)(0)=0,f(2k+1)(0)=(−1)k(2k)!(k=0,1,2,⋯)（这道题主要利用了复合函数求导的方法求解）

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例4.16

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