Phi-divergence

测度的绝对连续性（Absolute continuity of measures）

定义. 假设 B \mathcal{B} B 是定义于 X X X 的子集上的一个 σ \sigma σ-代数， μ , ν \mu, \nu μ,ν 是 B \mathcal{B} B 上的两个测度，如果对于任意满足 μ ( A ) = 0 \mu(A)=0 μ(A)=0 的子集 A ∈ B A\in\mathcal{B} A∈B，有 ν ( A ) = 0 \nu(A)=0 ν(A)=0，则我们称 ν \nu ν 相对于 μ \mu μ 是绝对连续的。

Radon-Nikodym定理. 如果测度 ν \nu ν 相对于 μ \mu μ 是绝对连续的，那么存在一个函数 f ∈ L 1 ( μ ) f\in L^1(\mu) f∈L1(μ) 使得 ν = f μ \nu=f\mu ν=fμ，i.e.,
ν ( A ) = ∫ A f d μ ∀ A ∈ B \nu(A)=\int_A fd\mu \qquad \forall A\in\mathcal{B} ν(A)=∫Afdμ∀A∈B

ϕ \phi ϕ-divergence

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