树上删边游戏及其拓展（公平博弈：克朗原理+费森原理）

参考资料

问题描述

在某一棵树上删除一条边，同时删去所有在删除后不再与根相连的部分
双方轮流操作，无法再进行删除者判定为失败
一个游戏中有多棵树，我们把ta们的根都放在地板上，方便之后的处理

在此，我们讨论的将是公平游戏，即双方都可以删除任意的树边
我们称这个游戏为：Green Hachenbush（树上公平删边游戏）

之所以强调是公平博弈，是因为还有另一种删边游戏，是不公平的，参与者双方一方只能删除蓝边，一方只能删除红边，而绿边双方都可以删除

竹子

为了更好地理解树上删边游戏，我们要由浅入深，从简单的情况入手
因此我们引入“竹子”：

根据上面的游戏规则，拿掉竹子上的某一节，那么此节上面的部分都会被删除
仔细一看，这就是Nim游戏的变形
那么相应的SG函数就非常简单了： SG[x]=x S G [ x ] = x SG[x]=x

克朗原理（Colon Principle）

我们把树的形态变的稍微复杂一点，在竹子上加一些分支，就可以得到一棵朴素的树

其实，树上删边游戏就是一个披上了狼皮树皮的Nim游戏
为了说明此问题，我们先介绍克朗原理：

克朗原理

对于树上的某一个点，ta的分支可以转化成以这个点为根的一根竹子，这个竹子的长度就是ta各个分支的边的数量的异或和

我们来举个例子？

//随意写了一个计算异或和的小程序
#include<cstdio>using namespace std;int main()
{int n;while (scanf("%d",&n)!=EOF){int a=0,x;for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&x),a^=x;printf("%d\n",a);}return 0;
}

1号树：最后是一条边的竹子，SG=1
2号树：SG=8

3号树：SG=4

至于具体的证明，由于没大看懂，就不在blog上胡说了

图上删边游戏

通过上面的讨论，我们得到了把树上删边游戏转化成Nim游戏的有力方法
下面就继续升级：图上删边

直接看一个xue微有点复杂的图：

我们当然希望把上图也转化成一个树形结构，之后利用克朗原理转化成竹子，变成Nim游戏解决
为了实现这个目标，我们需要另一个原理：费森原理

费森原理

环上的点可以融合，且不改变图的SG值

不是很好理解？没关系，我们从例子入手
可以发现，上图中门是独立于整个大框外的，所以我们从门开始

首先，我们可以把地板上的两个点视为一个，因为地板本身就可以看成是一个大点
这样这扇门就变成一个三角形（一个有三个点的环）
费森原理指出，我们可以把环上一个点等价成一个自环，而这个环又可以变成一条边

一般来说
我们可以把一个带有奇数边的环等价成只有一个端点的一条边
而偶数边的环等价于一个点

有了这个结论，就简单多了
因此，上图中房子的烟囱和窗户都可以等价成一个点
那我们继续我们的化简：

从上面所有的讨论中，我们可以得到启发：
对于博弈的大部分问题，只要SG值相同，就可以互相转化

例题

题解