图论模型

基础理论

1.无向图与有向图

有向图的边称为弧，有向图一般记为 D = ( V , A ) D=(V,A) D=(V,A)，其中 V V V 为顶点集， A A A 为弧集。
边的表示 ( v i , v j ) (v_i,v_j) (vi,vj)，弧的表示 < v i , v j > <v_i,v_j> <vi,vj>。

2.简单图与完全图

无环且无重边的图称为简单图。
上图中， e 2 e_2 e2 和 e 3 e_3 e3 为重边， e 5 e_5 e5 为环。
任意两点均相邻的简单图称为完全图。含 n n n 个顶点的完全图记为 K n K_n Kn.

3.赋权图

赋权图中的权可以是距离、费用、时间、效益、成本等。

4.顶点的度

出度记为 d + ( v ) d^+(v) d+(v)，入度记为 d − ( v ) d^-(v) d−(v).
度数为奇数的顶点称为奇顶点，度为偶数的顶点称为偶顶点。

定理给定图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，所有顶点的度数之和是边数的2倍，即
∑ v ∈ V d ( v ) = 2 ∣ E ∣ \sum_{v \in V} d(v)=2|E| v∈V∑d(v)=2∣E∣

5.子图

如果 G 1 G_1 G1 是 G 2 G_2 G2 的子图，且 V 1 = V 2 V_1=V_2 V1=V2，则称 G 1 G_1 G1 是 G 2 G_2 G2 的生成子图。

6.道路与回路

设 W = v 0 e 1 v 1 e 2 . . . e k v k W=v_0e_1v_1e_2...e_kv_k W=v0e1v1e2...ekvk，路长为边的个数 k k k
各边相异的道路称为迹，各顶点相异的道路称为轨道。
以顶点 u , v u,v u,v 分别为起点和终点的最短轨道之长为顶点 u , v u,v u,v 的距离。

7.连通图与非连通图

如果无向图 G G G 中任意两个顶点 u u u 和 v v v 之间是连通的，则称图 G G G 是连通图。
在有向图 G G G 中，如果对于任意两个顶点 u u u 和 v v v，从 u u u 到 v v v 和从 v v v 到 u u u 都存在道路，则称图 G G G 是强连通图。

图的表示

1.关联矩阵

对于无向图，关联矩阵 M = ( m i j ) n × m \boldsymbol{M}=\left(m_{i j}\right)_{n \times m} M=(mij)n×m:
m i j = { 1 , v i 与 e j 相关联, 0 , v i 与 e j 不关联. m_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & v_{i} \text { 与 } e_{j} \text { 相关联, } \\ 0, & v_{i} \text { 与 } e_{j} \text { 不关联. } \end{array}\right. mij={1,0,vi 与 ej 相关联, vi 与 ej 不关联.
对于有向图，关联矩阵 M = ( m i j ) n × m \boldsymbol{M}=\left(m_{i j}\right)_{n \times m} M=(mij)n×m:
m i j = { 1 , v i 是 e j 的起点, − 1 , v i 是 e j 的终点, 0 , v i 与 e j 不关联. m_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & v_{i} \text { 是 } e_{j} \text { 的起点, } \\ -1, & v_{i} \text { 是 } e_{j} \text { 的终点, } \\ 0, & v_{i} \text { 与 } e_{j} \text { 不关联. } \end{array}\right. mij=⎩ ⎨ ⎧1,−1,0,vi 是 ej 的起点, vi 是 ej 的终点, vi 与 ej 不关联.

2.邻接矩阵

对于有向非赋权图，其邻接矩阵 W = ( w i j ) n × n \boldsymbol{W}=\left(w_{i j}\right)_{n \times n} W=(wij)n×n：
w i j = { 1 , ⟨ v i , v j ⟩ ∈ A 0 , ⟨ v i , v j ⟩ ∉ A w_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle \in A \\ 0, & \left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle \notin A \end{array}\right. wij={1,0,⟨vi,vj⟩∈A⟨vi,vj⟩∈/A

最大流问题

公路系统有车辆流、物资调配系统有物资流、金融系统有现金流，这些流问题都可归结为网络流问题，如何安排使流量最大，即最大流问题。

1.基本概念

网络上的流，是指定义为弧集合 A A A 上的一个函数 f = { f i j } = { f ( v i , v j ) } f=\left\{f_{ij}\right\}=\left\{f(v_i,v_j)\right\} f={fij}={f(vi,vj)}, f i j f_{ij} fij 为弧 ( v i , v j ) (v_i,v_j) (vi,vj) 上的流量。
满足下列条件的流 f f f 称为可行流：
（1）容量限制条件：对每条弧 ( v i , v j ) ∈ A , 0 ⩽ f i j ⩽ c i j \left(v_{i}, v_{j}\right) \in A, 0 \leqslant f_{i j} \leqslant c_{i j} (vi,vj)∈A,0⩽fij⩽cij
（2）平衡条件：对于中间点，流出量=流入量，即对于每个 i ( i ≠ s , t ) i(i \neq s, t) i(i=s,t)有
∑ j : ( v i , v j ) ∈ A f i j − ∑ j : ( v j , v i ) ∈ A f j i = 0 \sum_{j:\left(v_{i}, v_{j}\right) \in A} f_{i j}-\sum_{j:\left(v_{j}, v_{i}\right) \in A} f_{j i}=0 j:(vi,vj)∈A∑fij−j:(vj,vi)∈A∑fji=0
最大流问题可以写为如下线性规划模型：
max ⁡ v s . t . { ∑ j : ( v i , v j ) ∈ A f i j − ∑ j : ( v j , v i ) ∈ A f j i = { v , i = s − v , i = t 0 , i ≠ s , t 0 ⩽ f i j ⩽ c i j , ∀ ( v i , v j ) ∈ A \begin{array}{l} \max v \\ s.t.\left\{\begin{array}{ll} \sum_{j:\left(v_{i}, v_{j}\right) \in A} f_{i j}-\sum_{j:\left(v_{j}, v_{i}\right) \in A} f_{j i}=\left\{\begin{array}{ll} v, & i=s \\ -v, & i=t \\ 0, & i \neq s, t \end{array}\right.\\ 0 \leqslant f_{i j} \leqslant c_{i j} , \forall \left(v_{i}, v_{j}\right) \in A \end{array} \right. \end{array} maxvs.t.⎩ ⎨ ⎧∑j:(vi,vj)∈Afij−∑j:(vj,vi)∈Afji=⎩ ⎨ ⎧v,−v,0,i=si=ti=s,t0⩽fij⩽cij,∀(vi,vj)∈A

最小费用流问题

在许多实际问题中，还需要考虑网络上流的费用问题。例如，在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。
设 b i j b_{ij} bij 为弧上的单位费用，则最小费用流问题可用如下线性规划问题描述：
max ⁡ ∑ ( v i , v j ) ∈ A b i j f i j s . t . { ∑ j : ( v i , v j ) ∈ A f i j − ∑ j : ( v j , v i ) ∈ A f j i = { v , i = s − v , i = t 0 , i ≠ s , t 0 ⩽ f i j ⩽ c i j , ∀ ( v i , v j ) ∈ A \begin{array}{l} \max \sum_{(v_i,v_j)\in A}^{} b_{ij}f{ij} \\ s.t.\left\{\begin{array}{ll} \sum_{j:\left(v_{i}, v_{j}\right) \in A} f_{i j}-\sum_{j:\left(v_{j}, v_{i}\right) \in A} f_{j i}=\left\{\begin{array}{ll} v, & i=s \\ -v, & i=t \\ 0, & i \neq s, t \end{array}\right.\\ 0 \leqslant f_{i j} \leqslant c_{i j} , \forall \left(v_{i}, v_{j}\right) \in A \end{array} \right. \end{array} max∑(vi,vj)∈Abijfijs.t.⎩ ⎨ ⎧∑j:(vi,vj)∈Afij−∑j:(vj,vi)∈Afji=⎩ ⎨ ⎧v,−v,0,i=si=ti=s,t0⩽fij⩽cij,∀(vi,vj)∈A
当 v v v 是最大流 v m a x v_{max} vmax 时，本问题就是最小费用最大流问题。

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