二次不等式恒成立求参数范围

前言

对二次不等式的恒成立问题的类型和对应的处理策略做以总结，总原则：利用三个二次的关系，进行相应的转化划归。比如本来是解二次不等式，结果我们却是利用其对应的二次函数的图像来思考。为了让思考的模型简单，我们暂不考虑仿二次不等式，只考虑二次不等式，

如$ax^2+bx+c\ge 0(a>0)$，或者直接思考$x^2-2ax+3a-1\ge 0$，

(当$a<0$时，可以仿照$a>0$来转化模型得到相应的不等式组）

类型和策略

类型1：形如$f(x)\ge 0(x\in R)$型的不等式确定参数范围

处理策略：需要限制$a$和$\Delta$，即$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta \leq 0}\end{array}\right.$

具体到上例，即$\Delta=4a^2-4(3a-1)\leq 0$，求解即可。

类型2：形如$f(x)\ge 0 (x\in [m，+\infty))$型的不等式确定参数范围

处理策略：分类讨论，转化划归；

如上例是在$[2，+\infty)$上恒成立，

则$\Delta \leq 0$或$\left\{\begin{array}{l}{\Delta > 0}\\{[对称轴]a< 2}\\{f(2)\ge 0}\end{array}\right.$

类型3：形如$f(x)\ge 0(x\in[a，b])$型的不等式确定参数范围

如上例$x\in [2，3]$上恒成立，

则$\Delta \leq 0$或

$\left\{\begin{array}{l}{\Delta > 0}\\{[对称轴]a< 2}\\{f(2)\ge 0}\end{array}\right.$

或$\left\{\begin{array}{l}{\Delta > 0}\\{[对称轴]a> 3}\\{f(3)\ge 0}\end{array}\right.$

特别的，当$x^2-2ax+3a-1\leq 0$在$x\in [2，3]$上恒成立时，

只需要限制$\left\{\begin{array}{l}{f(2)\leq 0}\\{f(3)\leq 0}\end{array}\right.$

类型4：形如$f(x)\ge 0(参数m\in[a，b])$型的不等式确定参数范围

处理策略：主辅元换位，

如不等式$x^2-2ax+3a-1\ge 0$对$a\in [2，3]$恒成立，求$x$的取值范围。

令$f(x)=x^2-2ax+3a-1$，则$f(x)$是关于$x$的二次函数，

若将上述函数以$a$为元，可以整理为另一个函数

$g(a)=(3-2x)a+x^2-1$，则$g(a)$是关于$a$的一次函数，

现要$g(a) \ge 0$，则只需$\left\{\begin{array}{l}{g(2)\ge 0}\\{g(3)\ge 0}\end{array}\right.$

对应例题

角度一形如$f(x)\ge 0(f(x)\leq 0)(x\in R)$型的不等式确定参数范围

例1(2017铜川模拟)不等式$a^2+8b^2\ge \lambda b(a+b)$对于任意的$a，b\in R$恒成立，则实数$\lambda$的取值范围为_____________。

法1：(将$b$和$\lambda$看做系数)将不等式转化为$a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0$对任意的$a\in R$恒成立，

则$\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0$，

解得$-8\leq \lambda \leq 4$。

法2：当$b=0$时，即$a^2\ge 0$恒成立，$\lambda\in R$；

当$b\neq 0$时，原不等式等价于$(\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda$，

令$\cfrac{a}{b}=t\in R$，即$t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0$对任意的$t\in R$恒成立，

则$\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0$，

解得$-8\leq \lambda \leq 4$。

综上所述(两种情况取交集)，实数$\lambda$的取值范围为$-8\leq \lambda \leq 4$。

角度二形如$f(x)\ge 0(x\in[a，b])$型的不等式确定参数范围

例2设函数$f(x)=mx^2-mx-x(m\neq 0)$，若对于$x\in [1，3]$，$f(x)<-m+5$恒成立，求$m$的取值范围。

法1：利用二次函数求解，要使$f(x)<-m+5$恒成立，即$mx^2-mx+m-6<0$，

即$m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6<0$在$x\in[1,3]$上恒成立，

令$g(x)=m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6,x\in [1,3]$，

当$m>0$时，$g(x)$在$[1,3]$上是增函数，

所以$g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0$, 解得$m<\cfrac{6}{7}$，

则有$0<m<\cfrac{6}{7}$；

当$m<0$时，$g(x)$在$[1,3]$上是减函数，

所以$g(x)_{max}=g(1)=m-6<0$, 解得$m<6$，

则有$m<0$；

综上所述，$m$的取值范围是$(-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})$。

法2：分类参数法，因为$x^2-x+1>0$，由$f(x)<-m+5$可得$m(x^2-x+1)-6<0$，

故有$m<\cfrac{6}{x^2-x+1}$恒成立，

又因为函数$y=\cfrac{6}{x^2-x+1}=\cfrac{6}{(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}}$在区间$[1,3]$上的最小值为$\cfrac{6}{7}$,

故只需$m<\cfrac{6}{7}$即可，

又因为$m\neq 0$，所以$m$的取值范围是$(-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})$。

例3已知函数$f(x)=x^2 +ax-2a≥0$在区间 $[1,5]$上恒成立，求参数$a$的取值范围。

法1，二次函数法

①由于$\Delta=a^2+8a≤0$时满足题意，解得$-8≤a≤0$，

求得对称轴$x=-\cfrac{a}{2}$，

再考虑对称轴$x=-\cfrac{a}{2}$和给定区间$[1，5]$的相对位置关系

②当$-\cfrac{a}{2}≤1$时，即$a≥-2$时，函数$f(x)$在区间$[1,5]$单调递增，

所以$f(x)_{min}=f(1)=1+a-2a≥0$,解得$-2≤a≤1$，又因为$a≥-2$，所以得到$-2≤a≤1$。

③当$-\cfrac{a}{2}≥5$时，即$a≤-10$时，函数$f(x)$在区间$[1,5]$单调递减，

所以$f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2a≥0$，解得$a≥-\cfrac{25}{3}$，又因为$a≤-10$，所以得到$a\in\varnothing$.

④当$1<-\cfrac{a}{2}<5$,即$-10<a<-2$时，$f(x)_{min}=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2a≥0$，

得到$-8≤a≤0$,又$-10<a<-2$，所以$-8≤a<-2$（这种情形可以省略）

综上可得$a$的取值范围是$[-8,1]$

法2：分离参数法，先转化为$(x-2)a\ge -x^2，x\in [1，5]$

接下来就转化为了三个恒成立的命题了，

当$x=2$时，原不等式即$(2-2)a\ge -4$，$a\in R$都符合题意；

当$2<x<5$时，原不等式等价于$a\ge \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)$恒成立；

$g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\leq 2\sqrt{(x-2)\cdot \cfrac{4}{x-2}}-4=-8$

求得当$x=4$时，$g(x)_{max}=-8$，故$a\ge -8$

当$1<x<2$时，原不等式等价于$a\leq \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)$恒成立；

$g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\ge 2\sqrt{-(x-2)\cdot \cfrac{-4}{x-2}}-4=0$

当且仅当$x=0$时取到等号，并不满足前提条件$1<x<2$，故是错解。

此时需要借助对勾函数的单调性，函数$y=x+\cfrac{4}{x}$在区间$[1，2]$上单调递增，

那么$y=x-2+\cfrac{4}{x-2}$在区间$[1，2]$上单调递减，

$y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}$在区间$[1，2]$上单调递增，$y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4$在区间$[1，2]$上单调递增，

故$g(x)_{min}=g(1)=1$，故$a\leq 1$

以上三种情况取交集，得到$a\in [-8，1]$。

角度三形如$f(x)\ge 0(参数m\in[a，b])$型的不等式确定参数范围

例4已知$a\in[-1,1]$时不等式$x^2+(a-4)x+4-2a>0$恒成立，则$x$的取值范围是多少？

分析：主辅元换位，把不等式的左端看成关于$a$的一次函数，

记为$f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4$，则由$f(a)>0$对于任意的$a\in[-1,1]$恒成立，

只需$\begin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0\end{cases}$即可，

即$\begin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0\end{cases}$，

解得$x<1$或$x>3$，则$x$的取值范围是$(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$.

高阶转化

例1【2019届高三理科三轮模拟训练题】【恒成立问题】【二次函数的最值问题】

已知正项递增等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1a_4=27$，$a_2+a_3=12$，若$\forall n\in N^*$，$2a_{n+1}S_n-21a_{n+1}\ge t$恒成立，则实数$t$的取值范围是__________。

分析：由等比数列性质可知，$a_2a_3=27$，$a_2+a_3=12$，

则$a_2$，$a_3$是方程$x^2-(a_2+a_3)x+a_2a_3=0$，即方程为$x^2-12x+27=0$的两个根，

解得$a_2=3$，$a_3=9$，或$a_2=9$，$a_3=3$(舍去)；

则$a_n=3^{n-1}$，从而计算得到$S_n=\cfrac{3^n-1}{2}$，

故已知条件$2a_{n+1}S_n-21a_{n+1}\ge t$可以变形为

$t\leq 2\cdot 3^n\cdot \cfrac{3^n-1}{2}-21\cdot 3^n=(3^n)^2-22\cdot 3^n=(3^n-1)^2-121$，

令$g(n)=(3^n-1)^2-121$，以下类比二次函数求最值的方法，注意$n\in N^*$的条件限制，

则当$n=2$时，$g(n)_{min}=(3^2-11)^2-121=-117$，故$t\leq -117$，即所求范围为$(-\infty，-117]$。

解后反思：①本题目的难点之一是解方程求数列通项公式；②恒成立问题；③求二次函数的最值；

对应练习：

练1(2017新余模拟)不等式$x^2-2x+5\ge a^2-3a$对任意实数$x$恒成立，则实数$a$的取值范围是

分析：令$a^2-3a=A$，$x^2-2x+5=f(x)$，

则转化为$f(x)\ge A$对任意实数恒成立，即需要求解$f(x)_{min}$;

练22、已知不等式$x^2-2x+a>0$对任意实数$x\in[2,3]$恒成立，则实数$a$的取值范围是___________.

分析：分离参数得到$a>-x^2+2x$对任意实数$x\in[2,3]$恒成立，

即需要求函数$f(x)=-x^2+2x,x\in[2,3]$的$f(x)_{max}$,

$f(x)=-(x-1)^2+1,x\in[2,3]$,故$f(x)_{max}=f(2)=0$，则得到$a>0$.

练33、已知函数$f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(a\in R,b\in R)$,对任意实数$x$都有$f(1-x)=f(1+x)$成立，若当$x\in[-1,1]$时，$f(x)>0$恒成立，则$b$的取值范围是_____________.

分析：先由$f(1-x)=f(1+x)$得到，二次函数的对称轴$x=-\cfrac{a}{-2}=1$，解得$a=2$，

故题目转化为$-x^2+2x+b^2-b+1>0$对任意$x\in [-1,1]$恒成立，

用整体法分离参数，

得到$b^2-b>x^2-2x-1$对任意$x\in[-1,1]$恒成立。

令$g(x)=x^2-2x-1，x\in[-1,1]$，需要求函数$g(x)_{max}$；

$g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，x\in[-1，1]$，

故$g(x)$在区间$[-1，1]$上单调递减，则$g(x)_{max}=g(-1)=2$，

故$b^2-b>2$，解得$b<-1$或$b>2$。

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