问题例子

例：不等式 x2+ax+1>0x^2+ax+1>0x2+ax+1>0 在RRR 上恒成立，求 aaa 的取值范围
解：对二次函数了解足够深入的话，可以想象出图像应该整体在y=0y=0y=0上方，只需 Δ<0\Delta < 0Δ<0 即 a2−4<0a^2 -4 < 0a2−4<0, 然后我们可以很轻易的解出 aaa 的范围为 (−2,2)(-2,2)(−2,2)

问题的抽象

对于任何恒成立的问题，我们均可以看成一种形式：f(x,a)>0f(x,a) > 0f(x,a)>0，在集合A上恒成立。

方法

出于篇幅和时间，本篇只讲 “分离参数法”。

试想一下，如果问题可以转述为：不等式 a>f(x)a>f(x)a>f(x)在[1,2][1,2][1,2] 上恒成立，求 aaa 的范围。

那么最后aaa 的解集就是 a>f(x)(max)a>f(x)_(max)a>f(x)(max)
想一下，为什么？

解释

我比你最大值大，不就一直比你大吗？就是恒成立了。

例题

(1):x2+ax+5>0在[1,2]上恒成立，求a的取值范围(1) : x^2 +ax +5 > 0 在[1,2]上恒成立，求a 的取值范围(1):x2+ax+5>0在[1,2]上恒成立，求a的取值范围
(2):x2+(a−5)x+7>0在R上恒成立，求a的取值范围(2) : x^2 +(a-5)x +7 > 0 在R上恒成立，求a 的取值范围(2):x2+(a−5)x+7>0在R上恒成立，求a的取值范围
(3):x2+1+ax>0在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围(3) :\sqrt{x^2+1} +ax>0 在(0,+\infty)上恒成立，求a 的取值范围(3):x2+1+ax>0在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围

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