不等式恒成立求字母范围

1、$f(x)=(1-x^{2})e^{x}$，当x≥0时，f(x)≤ax+1恒成立，求a的取值范围

${\color{Teal}{法一:分离参数}}$

$$f(x)≤ax+1$$

$$(1-x^{2})e^{x}≤ax+1$$ 即 $$a≥\frac{(1-x^{2})e^{x}-1}{x}$$ 令$$g(x)=\frac{(1-x^{2})e^{x}-1}{x}$$ 即求a≥g(x)max对于任意的x≥0恒成立

通过求导可知:g(x)单调递减

g(x)max=g(0)

$$g(0)=lim(x→0)\frac{(1-x^{2})e^{x}-1}{x}=1$$ 所以a≥1

${\color{Teal}{法二}}$

令g(x)=f(x)-ax-1

即g(x)≤0对任意x≥0恒成立

$$g(x)=(1-x²)e^x-ax-1=e^x-x²e^x-ax-1$$ $$g'(x)=e^x-2xe^x-x²e^x-a$$ $$g''(x)=e^x-2e^x-2xe^x-2xe^x-x²e^x =e^x(-4x-2-x²)$$

所以g''(x)max≤0

所以g'(x)单调递减 $$g'(x)max=g'(0)=1-a$$

当1-a≤0时，即a≥1时

g'(x)＜0，g(x)递减，所以g(x)max=g(0)=0≤0恒成立

故而a≥1

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