1 . 单车模型（bicycle model）

假设条件：

假设车辆只有前后两个轮A和B,C为车辆质心；
车辆运动只考虑平面运动，不考虑Z方向的影响，如车辆颠簸等；
车辆低速运动，此时不需要考虑滑移角的影响，书中的原话是“This is a reasonable assumption for low speed motion of the vehicle (for example, for speeds less than 5 mls). At low speeds, the lateral force generated by the tires is small 。”

在上述假设前提下，下图中的各参数说明如下：

δr 和 δf : 分别表示后轮和前轮相对车辆纵轴的转角，由方向盘决定。通常情况下车辆只依靠前轮进行转向操作，因此实际应用中 δr = 0 ；
C为车辆质心位置，到前后轮胎A和B的距离为lf 和 lr ，质心C的线速度矢量表示为V，方向β表示与车身纵轴的夹角，ψ表示车身纵轴与X轴的夹角。注意：这里的X轴指的是你设定的正前方方向，这里的β指的就是假设条件里面的滑移角，低速情况下通常β值很小，也可以忽略为0；
O为A、B、C三点（也就是车体）的瞬时旋转中心；

数学模型推导（以下公式都是针对质心C进行推导）：

△OCA 和△OCB由正弦定理得：

二者联立，可以得到：

根据V = RW 可得质心C（即车体）的角速度为：

最终得到车辆的状态方程为：

* 注意，这里的X、Y、ψ均带有“·” ，指归一化后的单位时间内的变化量，实际应用需要乘△t 。

2. 阿克曼转向几何（Ackerman turning geometry）

单车模型简化了汽车的前后轮胎，实际中汽车前后均有两个轮胎，如下：

对于汽车前面的两个轮胎来说，实际转角是不同的。阿克曼转向几何(Ackerman Turning Geometry)是一种为了解决交通工具转弯时，内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学。在单车模型中，将转向时左/右前轮偏角假设为同一角度，虽然通常两个角度大致相等，但实际并不是，通常情况下，内侧轮胎转角更大。这部分我就不再推导了，文献【2】中写的很清楚。

3. 仿真实现

根据上述原理，基于C++和opencv建立了系统仿真模型，可以根据输入的车辆信息实现对车辆模型的控制。仿真模型假设图像的x方向为车辆的前行方向，能够通过'w'/'s'/'a'/'d'/'b'/' '/'c'等按键实现对车体的速度、转向、减速等控制。

代码链接

车辆状态信息：

struct VehicleInfo{cv::Point2d location[5];  //  lt rt lb rb cdouble R[2];              //  质心R 和 右后轮R cv::Size vehSize;         //  车身尺寸double acceleration = 0;  //  车辆加速度double delta_t = 1;       //  时间间隔double speed = 0;         //  车速double delta_f = 0;       //  前轮和车身的夹角double  w = 0;            //  车辆角速度double  yaw_angle = 0;    //  偏航角，相对图像坐标系下的x轴double  beta = 0;         //  滑移角double  Lw = 99.5;        //  pixel 轮距double  L = 188.6;        //  pixel 轴距    bool   brake = true;      //  刹车 true : speed = 0;}vehInfo;

效果展示：

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