文章目录

参考资料
1. 以车辆重心为中心的单车运动学模型
- 1.1 参数说明
- 1.2 几何关系
- - 1.2.1 偏航角ψ\psiψ的关系
  - 1.2.1 滑移角 β\betaβ 的关系
  - 1.2.2 运动学模型
- 1.3 python 实现
2. 以前轮驱动的单车运动学模型
- 2.1 几何关系
- 2.2 python实现
3. 以后轴中心为车辆中心的单车运动学模型
- 3.1 几何关系
- 3.2 python实现
4. 阿克曼转向几何

参考资料

自动驾驶中的车辆运动学模型
车辆数学模型
车辆运动学模型
车辆控制-运动学模型(Kinematic Model)
运动学模型及其线性化

模型的用处就是在当前状态给定某控制输入时，预测（估计）系统未来的状态。控制领域利用模型设计合适的输入，以期控制系统到达目标状态。

1. 以车辆重心为中心的单车运动学模型

1.1 参数说明

一般考虑运动学模型时，将车辆模型简化成单车模型(bicycle model)。

单车模型中：

左右轮等效为单个轮子
左右前轮合并为单个轮子，其中心点为A点，同样后轮等效后的中心点为 B点。
转向角
前后轮的转向角用δf\delta_fδf和δr\delta_rδr表示，模型中前后轮都可以转向，对于只有前轮转向的系统，后轮转向角δr\delta_rδr可以设置为0.
重心
点 C 代表车辆的重心， A 点和 B点到重心的距离分别用 lfl_flf和 lrl_rlr表示，轴距表示为L=lf+lrL = l_f + l_rL=lf+lr。
速度
车辆重心的速度用VVV表示，与车辆纵向轴的夹角为β\betaβ，该角度叫做车辆的滑移角。
运动描述
假设车辆平动，车辆运动状态可以用三个坐标量描述： xxx 、yyy 和 ψ\psiψ。其中(x,y)(x,y)(x,y)代表车辆的位置，ψ\psiψ描述的是航向角（Heading Angle），指车身与X轴的夹角。
条件假设
假设速度矢量VVV的方向在点AAA点和BBB点的方向与转向角的方向相同，换句话说，在A点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为 δf\delta_fδf，同样 BBB点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为δr\delta_rδr。也就是说前后轮的滑移角β\betaβ都为0。该条件假设成立前提的是车辆速度很低(<5m/s)，此时轮胎产生的横向力很小，可以忽略。
轨迹半径
点 OOO代表车辆的瞬时旋转中心，线段 AOAOAO与BOBOBO与前后两个转轮方向垂直，他们的交点即为 OOO点，线段OCOCOC的长度代表车辆的轨迹半径RRR。
航迹角
车辆重心处的速度垂直于 OCOCOC,车辆速度矢量与车辆纵轴的夹角为β\betaβ，车辆的航向角为 ψ\psiψ，则航迹角为γ=ψ+β\gamma = \psi + \betaγ=ψ+β。

1.2 几何关系

1.2.1 偏航角ψ\psiψ的关系

如上图所示，在三角形OCAOCAOCA中，根据正弦定理，有：
sin⁡(δf−β)lf=sin⁡(π2−δf)R(1)\tag{1} \frac{\sin \left(\delta_{f}-\beta\right)}{l_{f}}=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\delta_{f}\right)}{R} lfsin(δf−β)=Rsin(2π−δf)(1)

在三角形OBCOBCOBC中，根据正弦定理，有：
sin⁡(β−δr)lr=sin⁡(π2+δr)R(2)\tag{2} \frac{\sin \left(\beta-\delta_{r}\right)}{l_{r}}=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\delta_{r}\right)}{R} lrsin(β−δr)=Rsin(2π+δr)(2)
展开公式(1)(2)可得:
sin⁡δfcos⁡β−sin⁡βcos⁡δflf=cos⁡δfR(3)\tag{3} \frac{\sin \delta_{f} \cos \beta-\sin \beta \cos \delta_{f}}{l_{f}}=\frac{\cos \delta_{f}}{R} lfsinδfcosβ−sinβcosδf=Rcosδf(3)
sin⁡βcos⁡δr−cos⁡βsin⁡δrlr=cos⁡δrR(4)\tag{4} \frac{\sin \beta\cos \delta_{r} -\cos \beta \sin \delta_{r}}{l_{r}}=\frac{\cos \delta_{r}}{R} lrsinβcosδr−cosβsinδr=Rcosδr(4)

等式(3)两边同时乘 lfcos⁡(δf)\frac{l_{f}}{\cos \left(\delta_{f}\right)}cos(δf)lf 得
tan⁡(δf)cos⁡(β)−sin⁡(β)=lfR(5)\tag{5} \tan \left(\delta_{f}\right) \cos (\beta)-\sin (\beta)=\frac{l_{f}}{R} tan(δf)cos(β)−sin(β)=Rlf(5)
同理，等式(4)两边同时乘 lrcos⁡(δr)\frac{l_{r}}{\cos \left(\delta_{r}\right)}cos(δr)lr 得
sin⁡(β)−tan⁡(δr)cos⁡(β)=lrR(6)\tag{6} \sin (\beta)-\tan \left(\delta_{r}\right) \cos (\beta)=\frac{l_{r}}{R} sin(β)−tan(δr)cos(β)=Rlr(6)

联立公式(5)(6)可得：
(tan⁡δf−tan⁡δr)cos⁡β=lf+lrR(7)\tag{7} \left(\tan \delta_{f}-\tan \delta_{r}\right) \cos \beta=\frac{l_{f}+l_{r}}{R} (tanδf−tanδr)cosβ=Rlf+lr(7)

根据条件假设，低速环境下，车辆行驶路径的转弯半径变化缓慢，此时我们可以假设车辆偏航角的变化率率ψ˙\dot{\psi}ψ˙可近似等于车辆的角速度ω\omegaω。根据车辆角速度ω=VR\omega = \frac{V}{R}ω=RV得
ψ˙=VR(8)\tag{8} \dot{\psi}=\frac{V}{R} ψ˙=RV(8)
将公式(8)带入公式(7)中，消除 RRR项得
ψ˙=Vcos⁡βlf+lr(tan⁡δf−tan⁡δr)(9)\tag{9} \dot{\psi}=\frac{V \cos \beta}{l_{f}+l_{r}}\left(\tan \delta_{f}-\tan \delta_{r}\right) ψ˙=lf+lrVcosβ(tanδf−tanδr)(9)

1.2.1 滑移角 β\betaβ 的关系

等式(5)乘以 lrl_{r}lr 得
tan⁡(δf)cos⁡(β)lr−sin⁡(β)lr=lf⋅lrR(10)\tag{10} \tan \left(\delta_{f}\right) \cos (\beta) l_{r}-\sin (\beta) l_{r}=\frac{l_{f} \cdot l_{r}}{R} tan(δf)cos(β)lr−sin(β)lr=Rlf⋅lr(10)
等式(6)乘以 lfl_{f}lf 得
sin⁡(β)lf−tan⁡(δr)cos⁡(β)lf=lf⋅lrR(11)\tag{11} \sin (\beta) l_{f}-\tan \left(\delta_{r}\right) \cos (\beta) l_{f}=\frac{l_{f} \cdot l_{r}}{R} sin(β)lf−tan(δr)cos(β)lf=Rlf⋅lr(11)
等式(10)和(11)相减得
cos⁡(β)(lftan⁡(δr)+lrtan⁡(δf))=sin⁡(β)(lf+lr)(12)\tag{12} \cos (\beta)\left(l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)\right)=\sin (\beta)\left(l_{f}+l_{r}\right) cos(β)(lftan(δr)+lrtan(δf))=sin(β)(lf+lr)(12)
等式(12)两端同时乘以 1cos⁡(β)\frac{1}{\cos (\beta)}cos(β)1 得
tan⁡(β)=lftan⁡(δr)+lrtan⁡(δf)lf+lr(13)\tag{13} \tan (\beta)=\frac{l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)}{l_{f}+l_{r}} tan(β)=lf+lrlftan(δr)+lrtan(δf)(13)
故取反三角函数得
β=arctan⁡(lftan⁡(δr)+lrtan⁡(δf)lf+lr)(14)\tag{14} \beta=\arctan \left(\frac{l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)}{l_{f}+l_{r}}\right) β=arctan(lf+lrlftan(δr)+lrtan(δf))(14)

1.2.2 运动学模型

根据上图，很容易得到x,yx,yx,y方向的速度为
x˙=Vcos⁡(β+ψ)y˙=Vsin⁡(β+ψ)(15)\tag{15} \begin{aligned} &\dot{x}=V \cos (\beta+\psi)\\ &\dot{y}=V \sin (\beta+\psi) \end{aligned} x˙=Vcos(β+ψ)y˙=Vsin(β+ψ)(15)

综上，以车辆重心为中心的运动学模型为

{x˙=Vcos⁡(ψ+β)y˙=Vsin⁡(ψ+β)ψ˙=Vcos⁡βlf+lr(tan⁡δf−tan⁡δr)(16)\tag{16} \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=V \cos (\psi+\beta) \\ \dot{y}=V \sin (\psi+\beta) \\ \dot{\psi}=\frac{V \cos \beta}{l_{f}+l_{r}}\left(\tan \delta_{f}-\tan \delta_{r}\right)\\ \end{array}\right. ⎩⎨⎧x˙=Vcos(ψ+β)y˙=Vsin(ψ+β)ψ˙=lf+lrVcosβ(tanδf−tanδr)(16)
其中，
β=arctan⁡(lftan⁡(δr)+lrtan⁡(δf)lf+lr)\beta=\arctan \left(\frac{l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)}{l_{f}+l_{r}}\right) β=arctan(lf+lrlftan(δr)+lrtan(δf))

1.3 python 实现

class KinematicModel_1:"""假设控制量为前后轮的转向角delta_f，delta_r和加速度a"""def __init__(self, x, y, psi, v, l_r, l_f, dt):self.x = xself.y = yself.psi = psiself.v = vself.l_f = l_fself.l_r = l_r# 实现是离散的模型self.dt = dtdef update_state(self, a, delta_f,delta_r):beta = math.atan((self.l_r*math.tan(delta_f)+self.l_f*math.tan(delta_r))/(self.l_f+self.l_r))self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi+beta)*self.dtself.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi+beta)*self.dtself.psi = self.psi+self.v*math.cos(beta)*(math.tan(delta_f)-math.tan(delta_r))/(self.l_f+self.l_r)*self.dtself.v = self.v+a*self.dtdef get_state(self):return self.x, self.y, self.psi, self.v

2. 以前轮驱动的单车运动学模型

2.1 几何关系

由于绝大多数的汽车后轮都不能够偏转，所以在单车模型基础上，我们假定后轮的转角控制输入δr=0\delta_r=0δr=0，即车辆为前轮驱动(front−wheel−only)。也就是说，方向盘上的控制输入，都反映到了前轮的转角上了，即认为方向盘的转角就等于前轮的转角δf\delta_fδf。

注意：这里依旧以车辆重心为中心。

在直角三角形OBCOBCOBC中，易得
sin⁡β=lrR(17)\tag{17} \sin{\beta}=\frac{l_r}{R} sinβ=Rlr(17)

将公式(8)代入公式(17)得

ψ˙=Vsin⁡βlr(18)\tag{18} \dot{\psi}=\frac{V \sin{\beta}}{l_r} ψ˙=lrVsinβ(18)

故前轮驱动的车辆运动学模型为
{x˙=Vcos⁡(ψ+β)y˙=Vsin⁡(ψ+β)ψ˙=Vsin⁡βlr(19)\tag{19} \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=V \cos (\psi+\beta) \\ \dot{y}=V \sin (\psi+\beta) \\\dot{\psi}=\frac{V \sin{\beta}}{l_r} \end{array}\right. ⎩⎨⎧x˙=Vcos(ψ+β)y˙=Vsin(ψ+β)ψ˙=lrVsinβ(19)
其中，β\betaβ的推导方式与前文一致（可直接令公式(14)的δr=0\delta_r=0δr=0），可得
β=arctan⁡(lrlf+lrtan⁡(δf))(20)\tag{20} \beta=\arctan \left(\frac{l_{r} }{l_{f}+l_{r}}\tan \left(\delta_{f}\right)\right) β=arctan(lf+lrlrtan(δf))(20)

2.2 python实现

class KinematicModel_2:"""假设控制量为前轮的转向角delta_f和加速度a"""def __init__(self, x, y, psi,v,l_r,l_f,dt):self.x = xself.y = yself.psi = psiself.v = vself.l_f = l_fself.l_r = l_r# 实现是离散的模型self.dt=dtdef update_state(self,a,delta_f):beta = math.atan((self.l_r)/(self.l_f+self.l_r)*math.tan(delta_f))self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi+beta)*self.dtself.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi+beta)*self.dtself.psi = self.psi+self.v*math.sin(beta)/self.l_r*self.dtself.v = self.v+a*self.dtdef get_state(self):return self.x, self.y, self.psi, self.v

3. 以后轴中心为车辆中心的单车运动学模型

3.1 几何关系

在直角三角形OBAOBAOBA中，显然有
tan⁡δf=LR(21)\tag{21} \tan{\delta_f}=\frac{L}{R} tanδf=RL(21)

联立公式(7)，可得：
ψ˙=VLtan⁡δf\dot{\psi}=\frac{V}{L}\tan{\delta_f} ψ˙=LVtanδf

另外，根据几何关系，显然有

x˙=Vcos⁡(ψ)y˙=Vsin⁡(ψ)\dot{x}=V \cos (\psi) \\ \dot{y}=V \sin (\psi) x˙=Vcos(ψ)y˙=Vsin(ψ)

因此，以后轴中心为车辆中心的运动学模型为

{x˙=Vcos⁡(ψ)y˙=Vsin⁡(ψ)ψ˙=VLtan⁡δf(22)\tag{22} \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=V \cos (\psi) \\ \dot{y}=V \sin (\psi) \\ \dot{\psi}=\frac{V}{L}\tan{\delta_f} \end{array}\right. ⎩⎨⎧x˙=Vcos(ψ)y˙=Vsin(ψ)ψ˙=LVtanδf(22)

如果使用车辆的加速度aaa作为控制，则再加上下面这个公式即可
V˙=a(23)\tag{23} \dot{V}=a V˙=a(23)

但在无人车控制过程中，一般控制对象 u=[v,w]Tu=\left[v, w\right]^{T}u=[v,w]T ，则式(22)可写为:
[x˙y˙ψ˙]=[cos⁡ψsin⁡ψ0]v+[001]w\left[\begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y} \\ \dot{\psi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \cos \psi \\ \sin \psi \\ 0 \end{array}\right] v+\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] w ⎣⎡x˙y˙ψ˙⎦⎤=⎣⎡cosψsinψ0⎦⎤v+⎣⎡001⎦⎤w

速度 vvv 的控制主要通过刹车 (brake) 、油门 (throttle) 、档位 (gear) 等来控制，横摆角速度 www主要通过转动方向盘 (steer) 来控制。

3.2 python实现

class KinematicModel_3:"""假设控制量为转向角delta_f和加速度a"""def __init__(self, x, y, psi,v,L,dt):self.x = xself.y = yself.psi = psiself.v = vself.L = L# 实现是离散的模型self.dt=dtdef update_state(self,a,delta_f):self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi)*self.dtself.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi)*self.dtself.psi = self.psi+self.v/self.L*math.tan(delta_f)*self.dtself.v = self.v+a*self.dtdef get_state(self):return self.x, self.y, self.psi, self.v

所有实现代码欢迎访问我的github仓库，正在持续更新中~~

4. 阿克曼转向几何

汽车采用阿克曼转向轮。阿克曼转向几何(Ackerman Turning Geometry)是一种为了解决交通工具转弯时，内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学。

在单车模型中，将转向时左、右前轮偏角假设为同一角度δf\delta_fδf，虽然通常两个角度大致相等，但实际并不是，通常情况下，内侧轮胎转角更大。如下图所示。

δo\delta_{o}δo 和 δi\delta_{i}δi 分别为外侧前轮和内侧前轮偏角，当车辆左转时，左前轮胎为内侧轮胎，其转角 δi\delta_{i}δi 较右前轮胎转角 δo\delta_{o}δo 更大。 lwl_{w}lw 为轮距， L=lf+lrL=l_f+l_rL=lf+lr 为轴距，远远小于轨迹半径RRR，滑移角β\betaβ接近于0。一般车辆模型后轴为固定轴，故后轮两轮胎转角为 0∘0^{\circ}0∘，即δr\delta_rδr为0 。

当以后轴中心为参考点时，则OBOBOB为转向半径R。

当滑移角β\betaβ很小时，且后轮偏角为0时，公式(9)可近似为

ψ˙≈VLtan⁡(δf)(24)\tag{24} \dot{\psi}\approx \frac{V}{L} \tan \left(\delta_{f}\right) ψ˙≈LVtan(δf)(24)
由于 δf\delta_{f}δf 很小
tan⁡(δf)≈δf(25)\tag{25} \tan \left(\delta_{f}\right) \approx \delta_{f} tan(δf)≈δf(25)
根据公式(8)和公式(24)得
ψ˙V≈δfL=1R(26)\tag{26} \frac{\dot{\psi}}{V} \approx \frac{\delta_{f}}{L}=\frac{1}{R} Vψ˙≈Lδf=R1(26)
故不区分前后轴，等效转向角为
δ=LR(27)\tag{27} \delta=\frac{L}{R} δ=RL(27)
由于内外轮的转弯半径不同，根据公式(27), 外轮转角为
δo=LR+lw2(28)\tag{28} \delta_{o}=\frac{L}{R+\frac{l_{w}}{2}} δo=R+2lwL(28)

内轮转角为
δi=LR−lw2(29)\tag{29} \delta_{i}=\frac{L}{R-\frac{l_{w}}{2}} δi=R−2lwL(29)
故前轮平均转向角为
δ=δo+δi2=LR−lw24R(30)\tag{30} \delta=\frac{\delta_{o}+\delta_{i}}{2}=\frac{L}{R-\frac{l_{w}^{2}}{4 R}} δ=2δo+δi=R−4Rlw2L(30)
由于 lw24R\frac{l_{w}^{2}}{4 R}4Rlw2 项中， lwl_{w}lw 远远小于 RRR, 且 lwl_{w}lw 的二次项更小，故
lw24R≅0(31)\tag{31} \frac{l_{w}^{2}}{4 R} \cong 0 4Rlw2≅0(31)
所以等式(30)可以近似为
δ=LR(32)\tag{32} \delta=\frac{L}{R} δ=RL(32)
比较等式(28)和(29)知， δi\delta_{i}δi 始终大于 δo\delta_{o}δo ，故
δi−δo=LR−lw2−LR+lw2=LlwR2−lw24≅LR2lw=δ2lwL(33)\tag{33} \begin{aligned} \delta_{i}-\delta_{o} &=\frac{L}{R-\frac{l_{w}}{2}}-\frac{L}{R+\frac{l_{w}}{2}} \\ &=\frac{L l_{w}}{R^{2}-\frac{l_{w}^{2}}{4}} \\ & \cong \frac{L}{R^{2}} l_{w}=\delta^{2} \frac{l_{w}}{L} \end{aligned} δi−δo=R−2lwL−R+2lwL=R2−4lw2Llw≅R2Llw=δ2Llw(33)
根据公式(33)可知，前轮内外转向角的差值接近于平均转向角的二次方，所以当前轮转向角较大时，内外轮的转向角误差就越大。

依据阿克曼转向几何设计的车辆，沿着弯道转弯时，利用四连杆的相等曲柄使内侧轮的转向角比外侧轮大大约2~4度，使四个轮子路径的圆心大致上交会于后轴的延长线上瞬时转向中心，让车辆可以顺畅的转弯。

车辆运动模型基于单车模型推导，推导过程不考虑车辆受到的横向力，故该模型只适用于车辆速度很低的情形。
a=mV2R(34)\tag{34} a=\frac{m V^{2}}{R} a=RmV2(34)
根据公式(34)知，速度很小时，车辆受到的向心力可以忽略不记，所以才有公式(8)的成立。所以当车辆的运动场景速度较低时，可以使用该模型描述车辆的运动。

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