这里又整了一遍车辆运动学，之前在Autoware那会，已经在控制那一部分整过一次了，就当复习了吧。

前言

车辆的控制目前用的最广的有三种方式：

其中，PID是一种对模型无要求的控制算法，就算丝毫不了解其控制模型，都可以凭经验将其参数调试出来，并且保证其可靠性与精度。
另外两种控制算法，要想实现对车辆的控制就必须了解，车辆的运动学或者动力学模型，在控制专栏下，也有描述过使用的相关模型，但是不同的人使用的控制方式不一样，建立的模型也不一致，这里主要是针对Apollo中的相关模型。
Apollo中，计算控制命令需要车辆的定位信息、底盘信息以及规划信息等，具体的可以直接去看代码，这里就不赘述了。

单车模型

建立模型时，应尽可能使模型简单易用，且能真实反映车辆特性，现在使用较多的车辆运动学模型多基于单车模型，使用此模型要做出如下假设：

不考虑车辆在Z轴方向的运动，只考虑XY水平面的运动，如图1所示；
左右侧车轮转角一致，这样可将左右侧轮胎合并为一个轮胎，以便于搭建单车模型，如图2所示；
车辆行驶速度变化缓慢，忽略前后轴载荷的转移；
车身及悬架系统是刚性的。

图 1 车辆模型图 1 车辆模型图1车辆模型

单车模型(Bicycle Model)将左/右前轮合并为一个点，位于A点；将左/右后轮合并为一个点，位于B点；点C为车辆质心点。

图 2 单车模型图 2 单车模型图2单车模型

其中， O O O为OA、OB的交点，是车辆的瞬时滚动中心，线段OA、OB分别垂直于两个滚动轮的方向； β \beta β为滑移角（Tire Slip Angle），指车辆速度方向和车身朝向两者间所成的角度， ψ \psi ψ为航向角（Heading Angle），指车身与X轴的夹角。

符号	定义	符号	定义
A	前轮中心	B	后轮中心
C	车辆质心	O	转向圆心
V	质心车速	R	转向半径
ℓ r \ell_{r} ℓr	后悬长度	ℓ f \ell_{f} ℓf	前悬长度
β \beta β	滑移角	ψ \psi ψ	航向角
δ r \delta_{r} δr	后轮偏角	δ f \delta_{f} δf	前轮偏角

当车辆为前轮驱动时，后轮偏角 δ r \delta_{r} δr恒为0。

车辆运动学模型

运动学是从几何学的角度研究物体的运动规律，包括物体在空间的位置、速度等随时间而产生的变化，因此，车辆运动学模型应该能反映车辆位置、速度、加速度等与时间的关系。在车辆轨迹规划过程中应用运动学模型，可以使规划出的轨迹更切合实际，满足行驶过程中的运动学几何约束，且基于运动学模型设计出的控制器也能具有更可靠的控制性能。

基于单车模型，如图2所示，搭建车辆运动学模型。由正弦法则，有：
sin ⁡ ( δ f − β ) ℓ f = sin ⁡ ( π / 2 − δ f ) R (1) \frac{\sin(\delta_{f}-\beta)}{\ell_{f}}=\frac{\sin(\pi /2-\delta_{f})}{R} \tag{1} ℓfsin(δf−β)=Rsin(π/2−δf)(1)
sin ⁡ ( β − δ r ) ℓ r = sin ⁡ ( π / 2 + δ r ) R (2) \frac{\sin(\beta-\delta_{r})}{\ell_{r}}=\frac{\sin(\pi /2+\delta_{r})}{R} \tag{2} ℓrsin(β−δr)=Rsin(π/2+δr)(2)
将式(1)，(2)展开，有
sin ⁡ δ f cos ⁡ β − sin ⁡ β cos ⁡ δ f ℓ f = cos ⁡ δ f R (3) \frac{\sin\delta_{f}\cos\beta-\sin\beta\cos\delta_{f}}{\ell_{f}}=\frac{\cos\delta_{f}}{R} \tag{3} ℓfsinδfcosβ−sinβcosδf=Rcosδf(3)
cos ⁡ δ r sin ⁡ β − cos ⁡ β sin ⁡ δ r ℓ r = cos ⁡ δ r R (4) \frac{\cos\delta_{r}\sin\beta-\cos\beta\sin\delta_{r}}{\ell_{r}}=\frac{\cos\delta_{r}}{R} \tag{4} ℓrcosδrsinβ−cosβsinδr=Rcosδr(4)
结合式(3)，(4)有
( tan ⁡ δ f − tan ⁡ δ r ) cos ⁡ β = ℓ f + ℓ r R (5) (\tan\delta_{f}-\tan\delta_{r})\cos\beta=\frac{\ell_{f}+\ell_{r}}{R} \tag{5} (tanδf−tanδr)cosβ=Rℓf+ℓr(5)
低速环境下，车辆行驶路径的转弯半径变化缓慢，此时可以假设车辆的方向变化率等于车辆的角速度。则车辆的横摆角速度为
ψ ˙ = V R (6) \dot{\psi}=\frac{V}{R} \tag{6} ψ˙=RV(6)
联立式(5)，(6)有
ψ ˙ = V cos ⁡ β ℓ f + ℓ r ( tan ⁡ δ f − tan ⁡ δ r ) (7) \dot{\psi}=\frac{V\cos\beta}{\ell_{f}+\ell_{r}}(\tan\delta_f-\tan\delta_r) \tag{7} ψ˙=ℓf+ℓrVcosβ(tanδf−tanδr)(7)
则在惯性坐标系下，有车辆运动学模型：
{ X ˙ = V cos ⁡ ( ψ + β ) Y ˙ = V sin ⁡ ( ψ + β ) ψ ˙ = V cos ⁡ β ℓ f + ℓ r ( tan ⁡ δ f − tan ⁡ δ r ) (8) \begin{cases} \dot{X}=V\cos(\psi+\beta) \\ \dot{Y}=V\sin(\psi+\beta) \\ \dot\psi=\frac{V\cos\beta}{\ell_{f}+\ell_{r}}(\tan\delta_f-\tan\delta_r) \end{cases} \tag{8} ⎩⎪⎨⎪⎧X˙=Vcos(ψ+β)Y˙=Vsin(ψ+β)ψ˙=ℓf+ℓrVcosβ(tanδf−tanδr)(8)
滑移角 β \beta β可以由公式(3)，(4)求得：
β = tan ⁡ − 1 ( ℓ f tan ⁡ δ r + ℓ r tan ⁡ δ f ℓ f + ℓ r ) (9) \beta=\tan^{-1}(\frac{\ell_f\tan\delta_r+\ell_r\tan\delta_f}{\ell_f+\ell_r}) \tag{9} β=tan−1(ℓf+ℓrℓftanδr+ℓrtanδf)(9)
可以看出模型的输入参数有三个 V V V, δ f \delta_f δf, δ r \delta_r δr。
一般的车辆只有前轮转角 δ f \delta_f δf，后轮转角 δ r = 0 \delta_r=0 δr=0，因此， β \beta β也近似为0，这样就与之前的文章中另一种推导方式结果相同。

阿克曼模型

在单车模型中，将转向时左/右前轮偏角假设为同一角度，虽然通常两个角度大致相等，但实际并不是，通常情况下，内侧轮胎转角更大。
如下图所示， δ o \delta_o δo和 δ i \delta_i δi分别为外侧前轮和内侧前轮偏角，当车辆右转时，右前轮胎为内侧轮胎，其转角 δ i \delta_i δi较左前轮胎转角 δ o \delta_o δo更大。 ℓ w \ell_w ℓw为轮距， L L L为轴距，后轮两轮胎转角始终为0°。
当以后轴中心为参考点时，转向半径 R R R为下图中红线。

当滑移角 β \beta β很小，后轮偏角为0时（其实前轮转向车辆大部分时候都这样）公式(7)可以转换为：
ψ ˙ V ≈ 1 R = δ L (10) \frac{\dot\psi}{V}\approx\frac{1}{R}=\frac{\delta}{L} \tag{10} Vψ˙≈R1=Lδ(10)
由于内外侧轮胎的转向半径不同，因此有：
δ o = L R + ℓ w / 2 (11) \delta_{o}=\frac{L}{R+\ell_{w}/2} \tag{11} δo=R+ℓw/2L(11)
δ i = L R − ℓ w / 2 (12) \delta_{i}=\frac{L}{R-\ell_{w}/2} \tag{12} δi=R−ℓw/2L(12)
则前轮平均转角
δ = δ o + δ i 2 ≈ L R (13) \delta=\frac{\delta_{o}+\delta_{i}}{2}\approx\frac{L}{R} \tag{13} δ=2δo+δi≈RL(13)
内外转角之差
Δ δ = δ i − δ o = L R 2 ℓ w = δ 2 ℓ w L (14) \Delta\delta=\delta_{i}-\delta_{o}=\frac{L}{R^2}\ell_{w}=\delta^2\frac{\ell_w}{L} \tag{14} Δδ=δi−δo=R2Lℓw=δ2Lℓw(14)
可以看出，两个前轮的转向角之差 Δ δ \Delta\delta Δδ与平均转向角 δ \delta δ的平方成正比。

依据阿克曼转向几何设计的车辆，沿着弯道转弯时，利用四连杆的相等曲柄使内侧轮的转向角比外侧轮大大约2~4度，使四个轮子路径的圆心大致上交会于后轴的延长线上瞬时转向中心，让车辆可以顺畅的转弯。

图 4 梯形拉杆装置差动转向机构图 4 梯形拉杆装置差动转向机构图4梯形拉杆装置差动转向机构

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