关于0“是不是自然数的了解
我们以为我们绝对了解的东西，往往不是那么绝对。
今天突然想起自然数的定义--当然，在小学的时候我们就知道自然数是[1,2,3……],按照我的老师的说法，就是可以用1作为单位，1个1个累计起来的数。不管是当时数手指，还是日常生活的经验，我都确信无疑。
不过现在的数学教材中，N（自然数集）是包括0的。有人用计算机二进制中只有01来说明0是自然数，也有人说GB规定之类的，还有人说是国际标准或西方都是这样，不过数学作为一个严谨的学科，人为的规定和直觉是很难说服人的，用国际惯例之类的也不好使，因为一直以来，我所得到的教育就是1是抽象出来的自然数的基础，其他自然数都是1加出来的，由此扩展出四则运算等。在网上看了一圈，包括一些数学家在内都认为0作为自然数是不合适的（潘承洞、潘承彪写的初等数论）。
下面是网上的讨论：
个抽象的运算元素“1”，它的一切理论都由这两个基本定义导出。它可广泛地用于实践中各个领域，但不允许用实践中具体的事物来定义它的概念或证明它的结论。你可以用自然数去数苹果,但不得用苹果定义自然数；你可用勾股弦定理计算三角形的边长，但不能用测量三角形的边长证明勾股弦定理。它只能用它自身完整严密的逻辑推理来定义和证明它自身，而且他的定义和定理要求绝对准确，,不允许随意"规定"。
通过加法逆运算定义了减法，若干数自加定义乘法，乘法逆运算定义除法，依此类推，定义更复杂的运算方法乘方、开方、对数……。
2=1+1 3=2+1=1+1+1 ……依此类推,定义全部自然数,所以自然数的精确定义是1
相加的和。0=1-1 -n=0-n .定义了0和负整数.，而正整数是大减小的特例，所以整数是自然数相减的差，同理，有理数是整数相除的商。.依此类推，定义实数、复数……。
乘法定义于自然数，非自然数相乘，就必须加以证明。为什么(-1)*(-1)=1? 绝大
多数人会说：“这是规定”，事实上，(-1)*0=0 (-1)*(1-1)=0 (-1)*[1+(-1)]=0
-1+(-1)*(-1)=0 所以 (-1)*(-1)=1。.那么0为什么不是自然数？也会有人说“:这是规定”，事实上，因为0不是1相加的和，所以0不是自然数。正是由于人们把绝对的数学结论，错误地看作是随意“规定”,才引起0是否自然数的无端争论。
有人用集合理论定义0是自然数，但他却忘记关键的一点，数学中的概念，必许是先定义后引用，而不是相反。然而集合中的元素却引用了尚未定义的自然数，况且集合是通过定义其中元素来定义的，也不是相反。如果用集合[0，1，2……]定义自然数，那么请问：“……”是什么？当然是自然数？自然数又是什么？虽然集合可用枚举来定义，但只限于有限集合。
有人用“世界多数国家规定”和“国家标准规定”来解释，那么哥德巴赫猜想是否可通过权威部门规定来证明。有人认为：实际应用中计算机编码从0开始，0应该定义为自然数。那么，实际应用中圆周率只使用有限位小数，π就应该定义为有理数。
如果把0作为基本运算元素，0+0=0 数学系统就会陷入永远的死循环。那么，0是否可以和1同时定义为基本运算元素呢？这不符合数学原始定义最少的原则，几何学定义基本元素是一抽象的点，线是点移动的轨迹，面是线移动的轨迹……；逻辑运算只有两元素：[1，0]，而0是的1的“非”；即使可以对此原则不理会，那么，1-1=0 就必须通过证明，偶数定义2n 就包括0，奇数2n-1 就包括（-1），o是素数还是合数? n!=0*1*2*3*……*n≡0 永远等于0，自然对数底e=lim(1+1/1!+1/2!+1/3!+……+1/n!)=1+1/0*∝ 出现0除……。系统陷入瘫痪。所以把0定义为自然数是绝对错误的。
我个人认为自然数的确不应该有0：
1、自然数是人们对自然的最直接的数的认识，0的出现远远落后于自然数产生的时代。
2、争议会产生，原因在于对自然数本身一直没有严格的定义，因此，谁最早给出一个普遍认可的定义，自然数的体系就应该统一下来避免混乱。做这个工作的是皮亚诺：
参见皮亚诺公理
比较郁闷的是，这个公理本身就有不同的版本，不过没有0的版本更早出现，更接近于真实。
3、所以我认为，我们不妨把不包含0的自然数集N*称为自然数，而把包含0的自然数集N称为扩展自然数集合。
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