python学数学1-1：认识数字--自然数公理

自然数的概念直接来自人们的生活，但数学家们为自然数N建立了完整的公理体系。皮亚诺公理就是接受最广的一个。

我们这里使用扩展的自然数（即包含了0的自然数）

①N中有一个元素，记作0。
②N中任一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。
③0不是任何元素的后继者。
④不同元素有不同的后继者。
⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果0∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。

让我们来自己动手实现一个单纯的自然数系统N。

为了避免和我们习惯的数字混淆，我们将完全不使用任何程序中的数字变量。

① 对于0元素，我们用None表示，通过函数zero获得。
②任何元素都有后继，我们用一个函数nNext来获得它。
④不同元素有不同的后继，用一个函数nPre来获得某个元素是谁的后继。
③0不是任何元素的后继，所以nPre(zero())将报错。
⑤上面四条公理已经足够建立起自然数的框架，最后的归纳公理将用来建立整个比较和运算体系。

我们首先看关于0的定义，用两个函数来实现：
# 返回特例数字“0”，其特点是它不是任何数字的后继

def zero():return ['自然数的起点','零']
def isZero(a):return a==['自然数的起点','零']

zero()获得特例数字0，这个0，可以用任何内容来代表。唯一的关键是我们有办法用isZero()函数判断它是0即可。
为了这一原则显得更加明显，我们这里特意用了比较复杂的表示：用一个含有两个元素的列表来代表这个0。

接下来是后继与前驱的实现，也用了两个函数：

# 返回a的后继
def nNext(a):def number(cmd):if cmd== 'pre':# 只知道前驱是areturn aelse:# 其他一概不知return Nonereturn number

nNext()这里涉及一点高阶函数的知识。构造了一个函数，用这个函数来代表数字。这个函数接收一个参数，当这个参数是"pre"的时候，返回这个数字的前驱，显然是为了给下一个函数nPre使用。除此之外，任何其他的参数都返回None，代表一无所知。

# 返回a的前驱是谁（a是谁的后继），这也是a唯一知道的事情
def nPre(a):if isZero(a):raise TypeErrorreturn a('pre')

nPre()除了数字0报错之外，其余的数字，直接返回它的前驱，很明确。

在后面的课程中，我们将从这几个看似简单的基本函数开始，构建起完整的算术框架。我们将深刻地理解，我们日常所使用的数字背后其实真的只有几条公理而已。

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