「管理数学基础」3.3 凸分析：凸函数的极值和凸规划
凸函数的极值和凸规划
文章目录
- 凸函数的极值和凸规划
- 凸函数的极值
- 凸规划
- 定理：由f、g、h凹凸性得是否为凸规划
- 证明：凸规划的最优解集必是凸集
- 线性规划的整体最小点与局部极小点
- 凸规划局部极小点性质
- 性质1：凸规划的任一局部极小点即为整体极小解
- 性质2：当目标函数f是严格凸函数时，凸规划问题的最优解是唯一的
凸函数的极值
分析：
- 凸集的凸函数的极小值点就是全局极小值点
- 上面的反证法中，矛盾的是<f(x∗)<f(x^*)<f(x∗)的小于号<<<
凸规划
几个注意的地方：
- 目标取minimize
- 因此不等约束是g(x)≥0g(x)\ge 0g(x)≥0的形式
定理：由f、g、h凹凸性得是否为凸规划
该定理的应用如下。
证明：凸规划的最优解集必是凸集
上述证明存在问题，因为应用了∇f(x∗)=0\nabla f(x^*)=0∇f(x∗)=0，而fff未必可微…经过讨论，发现并没有应用到∇f(x∗)=0\nabla f(x^*)=0∇f(x∗)=0，因此证明没有问题。
线性规划的整体最小点与局部极小点
凸规划局部极小点性质
性质1：凸规划的任一局部极小点即为整体极小解
性质2：当目标函数f是严格凸函数时，凸规划问题的最优解是唯一的
如上，蓝色是我的证明，红色的老师的证明：
- 蓝色的不对，因为应用了∇f(x∗)=0\nabla f(x^*)=0∇f(x∗)=0，而fff未必可微；
- 而红色的反证法中，产生矛盾的是<<<符号
- 注意应用取最小值点f(x1)=af(x_1)=af(x1)=a，所以∀x,a≤f(x)\forall x, a \le f(x)∀x,a≤f(x)这条性质
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