扩张原理、模糊数、可能性分布与模糊概率

文章目录

扩张原理、模糊数、可能性分布与模糊概率
- 扩张原理
- - 例题：扩张原理
  - 多元扩张原理
- 模糊数
- - 凸模糊集
  - - 性质1：凸模糊集任意截集是一个区间
    - 性质2：凸模糊集并集是凸模糊集
  - 模糊数定义与几何表示
  - 区间数
  - - 证明：区间数运算服从次分配律
    - 例题：区间数的运算
  - 模糊数的运算
  - - 例题：模糊数的运算
- 可能性分布与模糊概率
- - 随机性与可能性
  - 可能性分布
  - 模糊事件的概率

扩张原理

如上，对于非模糊集：

我们可以通过一个映射fff将xxx映射到yyy上去
如果x1x_1x1与x2x_2x2都映射到yyy，但是x1x_1x1不属于XXX、x2x_2x2属于XXX、yyy属于YYY
则依旧，有事实：μf(X)(y)=1\mu_{f(X)} (y)=1μf(X)(y)=1，μA(x1)=0\mu_A (x_1)= 0μA(x1)=0，μA(x2)=1\mu_A (x_2)= 1μA(x2)=1
因此可以得到普通集合上的映射的隶属度函数关系：μf(A)(y)=∨f(x)=yμA(x)\mu_{f(A)}(y)=\vee_{f(x)=y}\mu_A (x)μf(A)(y)=∨f(x)=yμA(x)

所以我们推导出模糊集上的扩张原理。

例题：扩张原理

如上，这是一个运算（映射）后，取原x隶属度上界的过程。

多元扩张原理

模糊数

凸模糊集

我的理解：取任一区间上的点，隶属度总是至少大于等于一个区间端点的隶属度。（没有向下凹陷的部分）

性质1：凸模糊集任意截集是一个区间

注意一个区间。

分析：

这个性质直观来想很好理解：没有向下凹陷，则取截集，肯定是一个，不是多个（不会被向下凹陷分隔开）

性质2：凸模糊集并集是凸模糊集

如上，直接代入定义，验证公式即可。

模糊数定义与几何表示

注意：

正则模糊集要求：最大隶属度要为1
截集是闭区间
模糊数是一个模糊集
目前可以理解为模糊数与凸模糊集相同

区间数

上面的区间数运算律要注意：

减法要反转被减数
乘法取四个乘积的最小与最大
除法变成乘法时，依旧要反转除数（为了保证是一个区间，左边小于等于右边）

证明：区间数运算服从次分配律

次分配律：即左边A(B+C)A(B+C)A(B+C)属于右边AB+ACAB + ACAB+AC的分配率。你可以如上图把左右都乘开，然后假设、讨论区间大小（包含关系）；也可以从微观证明（与同学讨论，同学教我的办法）。

例题：区间数的运算

直接代入运算律就可以。用于检验是否有根，是一个神奇的应用，如果有深入的必要，可以在日后学习中探究区间数运算的原理。

模糊数的运算

如上，元素也要两两进行运算：

元素合并时取交集
合并后整理公式，取并集
看例题就了然了

例题：模糊数的运算

可能性分布与模糊概率

随机性与可能性

这里，将可能性与随机性结合了起来。

可能性分布

如上，可能性分布就是隶属度。

模糊事件的概率

这里多少令人有些费解：

本身是存在射击命中率的（每次射击是独立的）
而对于“设了几次就射中目标”这件事，我们需要用模糊集A∼A_\simA∼描述这个“不几次”
射了1次，当然属于“不几次”；设了2次，属于“不几次”的程度为0.9…设了5次及以上，当然不算是“不几次”，隶属度均为0。

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