文章目录

TOPSIS法(优劣解距离法)介绍及 python3 实现
1 简述
2 TOPSIS过程
- 2.1 指标属性同向化，一般选择指标正向化
- - 2.1.1 极小型指标：期望指标值越小越好（如患病率、死亡率等）
  - 2.1.2 中间型指标：期望指标值既不要太大也不要太小，适当取中间值最好（如水质量评估 PH 值）
  - 2.1.3 区间型指标：期望指标的取值最好落在某一个确定的区间最好（如体温）
- 2.2 构造归一化初始矩阵
- 2.3 确定最优方案和最劣方案
- 2.4 计算各评价对象与最优方案、最劣方案的接近程度
- 2.5 计算各评价对象与最优方案的贴近程度Cj
- 2.6 根据Ci大小进行排序，给出评价结果
- 2.7 TOPSIS法算法程序
补充：不同的算法步骤MATLAB版本
- TOPSIS算法步骤
- 对应MATLAB程序

TOPSIS法(优劣解距离法)介绍及 python3 实现

转载原文：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/37738503

1 简述

C.L.Hwang 和 K.Yoon 于1981年首次提出 TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)。TOPSIS 法是一种常用的组内综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。基本过程为基于归一化后的原始数据矩阵，采用余弦法找出有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

通俗的例子：小明数学考试 134 分，要怎么知道他的成绩是好还是不好呢？

基于分布的评价方法会观察小明的分数位于班级分数的哪个水平（如前 5%、前 10%），但这种评价方法只能给出一个方向的情况。如班上成绩除了最高分外，其余都是 134 分，那么小明的成绩就是并列的倒数第一，但是正向评价给出的结果是前 5%。
　　而 TOPSIS 就是找出班上最高分（假设是 147 分）、最低分（假设是 69 分），然后计算小明的分数和这两个分数之间的差距，从而得到自己分数好坏的一个客观评价。距离最高分越近，那么评价情况越好，距离最低分越近，那么评价情况越糟。

2 TOPSIS过程

网上大部分资料对此部分均有描述，但不少资料与文献原文存在较大偏差、排版较为混乱，并且没有深入思考原理。此部分内容转述外网文献，并加入了笔者自己的理解。

2.1 指标属性同向化，一般选择指标正向化

TOPSIS 法使用距离尺度来度量样本差距，使用距离尺度就需要对指标属性进行同向化处理（若一个维度的数据越大越好，另一个维度的数据越小越好，会造成尺度混乱）。通常采用成本型指标向效益型指标转化（即数值越大评价越高，事实上几乎所有的评价方法都需要进行转化），此外，如果需要使用雷达图进行展示，建议此处将所有数据都变成正数。

2.1.1 极小型指标：期望指标值越小越好（如患病率、死亡率等）

M为指标 x可能取值的最大值

2.1.2 中间型指标：期望指标值既不要太大也不要太小，适当取中间值最好（如水质量评估 PH 值）

其中M为指标 x的可能取值的最大值， m为指标 x 的可能取值的最小值

2.1.3 区间型指标：期望指标的取值最好落在某一个确定的区间最好（如体温）

其中 [a,b] 为指标 x的最佳稳定区间， [a*,b*] 为最大容忍区间

def dataDirection_1(datas, offset=0):def normalization(data):return 1 / (data + offset)return list(map(normalization, datas))def dataDirection_2(datas, x_min, x_max):def normalization(data):if data <= x_min or data >= x_max:return 0elif data > x_min and data < (x_min + x_max) / 2:return 2 * (data - x_min) / (x_max - x_min)elif data < x_max and data >= (x_min + x_max) / 2:return 2 * (x_max - data) / (x_max - x_min)return list(map(normalization, datas))def dataDirection_3(datas, x_min, x_max, x_minimum, x_maximum):def normalization(data):if data >= x_min and data <= x_max:return 1elif data <= x_minimum or data >= x_maximum:return 0elif data > x_max and data < x_maximum:return 1 - (data - x_max) / (x_maximum - x_max)elif data < x_min and data > x_minimum:return 1 - (x_min - data) / (x_min - x_minimum)return list(map(normalization, datas))

2.2 构造归一化初始矩阵

设共有 [公式] 个待评价对象，每个对象都有 [公式] 个指标(属性)，则原始数据矩阵构造为：

构造加权规范矩阵，属性进行向量规范化，即每一列元素都除以当前列向量的范数（使用余弦距离度量）

由此得到归一化处理后的标准化矩阵 Z ：

2.3 确定最优方案和最劣方案

最优方案Z+由 [Z中每列元素的最大值构成：

最劣方案 Z- 由 Z中每列元素的最小值构成：

2.4 计算各评价对象与最优方案、最劣方案的接近程度

其中 wj为第 j 个属性的权重（重要程度），指标权重建议根据实际确定或使用专家评估方法。在本文第 4 部分也提供了两种常用的确定权重的方法及简要分析。

2.5 计算各评价对象与最优方案的贴近程度Cj

2.6 根据Ci大小进行排序，给出评价结果

2.7 TOPSIS法算法程序

使用的编程语言：python3.7.1 (Anaconda3)

使用的编辑器：Sublime Text 3

使用的模块：pandas、numpy

import pandas as pd
import numpy as npdef topsis(data, weight=None):# 归一化data = data / np.sqrt((data ** 2).sum())# 最优最劣方案Z = pd.DataFrame([data.min(), data.max()], index=['负理想解', '正理想解'])# 距离weight = entropyWeight(data) if weight is None else np.array(weight)Result = data.copy()Result['正理想解'] = np.sqrt(((data - Z.loc['正理想解']) ** 2 * weight).sum(axis=1))Result['负理想解'] = np.sqrt(((data - Z.loc['负理想解']) ** 2 * weight).sum(axis=1))# 综合得分指数Result['综合得分指数'] = Result['负理想解'] / (Result['负理想解'] + Result['正理想解'])Result['排序'] = Result.rank(ascending=False)['综合得分指数']return Result, Z, weight

topsis 函数需要输入：
data：原始数据，pandas.DataFrame 类型
weight：权系数, 默认使用熵权法定权. 也可以传入指定权重列表. （熵权法代码见下文）

补充：不同的算法步骤MATLAB版本

原文链接：https://blog.csdn.net/CSDN___CSDN/article/details/81042527

TOPSIS算法步骤

对应MATLAB程序

说明：有‘%’的地方可灵活变换数值a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];%【】
c=sqrt(sum(a.*a));
for i=1:3%【[ma,na]=size(A);          %ma为A矩阵的行数，na为A矩阵的列数】
for j=1:3%【】
d(i,j)=a(i,j)/c(j)%【d为规范化决策矩阵】
end
end
w=[1 2 3];%【】
for i=1:3%【】
for j=1:3%【】
c(i,j)=d(i,j)*w(j)%【c为加权矩阵】
end
end
cmax=max(c);
cmin=min(c);
for i=1:3%【】
c1=c(i,:)-cmax
s1(i)=norm(c1)
c2=c(i,:)-cmin
s2(i)=norm(c2)
T(i)=s2(i)/(s1(i)+s2(i))
end