数学建模学习笔记（二）——Topsis优劣解距离法

（续上篇文章）层次分析法的局限

上一篇文章中，层次分析法有这样的局限

评价决策层不能太多；
数据是已知的的话，便无法使用层次分析法进行精确的分析评价；

因此，为对这些情况做出更为精准的分析，我们可以使用Topsis优劣解距离法。

Topsis优劣解距离法介绍

Topsis优劣解距离法是一种综合评价方法，主要优点是能够充分利用原始数据来进行分析。

主要步骤为：

将原始数据正向化
将正向化矩阵进行标准化（消除量纲的影响）
计算样本数据与最大值、最小值的距离
根据公式，利用距离计算未归一化的得分
最后进行排序即可

正向化简介

指标名称	指标特点	实例
极大型指标	数据越大越好	成绩、水体氧气含量……
极小型指标	数据越小越好	细菌含量、水体富营养化程度……
中间型指标	数据越靠近一个中间的值越好	PH值……
区间型指标	数据在一个区间中最好	人体体温、水体植物量

在Topsis第一步中，我们需要将数据进行正向化处理，一般的处理模式都是将其他类型指标转化为极大型指标。下面叙述转化方法：

极小型指标 →\rightarrow→ 极大型指标
转化公式为：max−x转化公式为：max-x转化公式为：max−x同时，如果所有数据都是正数（注意正数不包含0哦~~）也可以使用公式 1x\frac{1}{x}x1，但主要推荐使用 max−xmax-xmax−x 来转化。
（正向化公式不唯一，如果有更好的公式，欢迎告诉我，我会持续更新hhh）
中间型指标 →\rightarrow→ 极大型指标
中间型指标一般会有一个最佳数值，记为 xbestx_{best}xbest ，设 {xix_ixi} 是中间型指标序列，那么正向化公式为：M=max∣xi−xbest∣xi^=1−∣xi−xbest∣MM = max{|x_i - x_{best}|} \\ \hat{x_i} = 1 - \frac{|x_i - x_{best}|}{M}M=max∣xi−xbest∣xi^=1−M∣xi−xbest∣例如：对于PH值的正向化(xbest=7,max=3x_{best}=7, max=3xbest=7,max=3)

PH	PH（正向化后）
1	1−63=−11-\frac{6}{3}=-11−36=−1
6	1−13=231-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}1−31=32
8	1−13=231-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}1−31=32
10	1−33=01-\frac{3}{3}=01−33=0

区间型指标 →\rightarrow→ 极大型指标
区间型指标一般也会有一个最佳区间 [a,b][a, b][a,b] ，同样设 {xi}\{x_i\}{xi} 是区间型指标序列，那么正向化公式为：M=max{a−min{xi},max{xi−b}}xi^={1−a−xiM,a<xi,1,a≤xi≤b,1−xi−bM,xi<bM = max\{a-min\{x_i\}, max\{x_i-b\}\} \\ \\ \hat{x_i}=\left\{ \begin{aligned} & 1-\frac{a-x_i}{M}, a<x_i, \\ \\ & 1, a \leq x_i \leq b, \\ \\ & 1-\frac{x_i-b}{M}, x_i<b \end{aligned} \right.M=max{a−min{xi},max{xi−b}}xi^=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1−Ma−xi,a<xi,1,a≤xi≤b,1−Mxi−b,xi<b例如对于人体体温的转化：
a=36,b=37,M=max{36−35.2,38.4−37}=1.4a=36, b=37, M = max\{36-35.2, 38.4-37\}=1.4a=36,b=37,M=max{36−35.2,38.4−37}=1.4

体温	提问（正向化后）
35.2	0.4286
35.8	0.8571
36.6	1
37.1	0.9286
37.8	0.4286
38.4	0

下面来看一个具体的例子

原始数据为：

姓名	成绩	过失次数	竞赛次数	总和
小明	89	2	2	50
小刚	60	0	4	60
小张	74	1	6	70
小李	99	3	8	80

由原始数据可知，成绩指标为极大型指标，过失次数为极小型指标，竞赛次数为区间型指标，总和为中间型指标。

根据上面描述的方法可以得到正向化矩阵为：X=[89100.56031174210.599000]X= \begin{bmatrix} 89 & 1 & 0 & 0.5 \\ 60 & 3 & 1 & 1 \\ 74 & 2 & 1 & 0.5 \\ 99 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}X=⎣⎢⎢⎡89607499132001100.510.50⎦⎥⎥⎤2. 将正向化的矩阵进行标准化去除量纲的影响
标准化公式为：zij=xij∑i=1nx02(每一个元素/其所在列的元素的平方和)标准化公式为：z_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_0^2}}(每一个元素 / \sqrt{\text{其所在列的元素的平方和}})标准化公式为：zij=∑i=1nx02xij(每一个元素/其所在列的元素的平方和) S=[0.54370.267300.40820.36650.80180.70710.81650.45200.53450.70710.40820.6048000]S=\begin{bmatrix} 0.5437 & 0.2673 & 0 & 0.4082 \\ 0.3665 & 0.8018 & 0.7071 & 0.8165 \\ 0.4520 & 0.5345 & 0.7071 & 0.4082 \\ 0.6048 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}S=⎣⎢⎢⎡0.54370.36650.45200.60480.26730.80180.5345000.70710.707100.40820.81650.40820⎦⎥⎥⎤
3. 将标准化矩阵进行归一化

求解样本数据与最大值和最小值的距离

定义最大值 Z+=(max{z11,z21,⋯,zn1},max{z12,z22,⋯,zn2},⋯,max{z1m,z2m,⋯,znm})Z^+ = (max\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n1}\}, max\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{n2}\}, \cdots, max\{z_{1m}, z_{2m}, \cdots, z_{nm}\})Z+=(max{z11,z21,⋯,zn1},max{z12,z22,⋯,zn2},⋯,max{z1m,z2m,⋯,znm})
定义最小值 Z−=(min{z11,z21},⋯,zn1},min{z12,z22,⋯,zn2},⋯,min{z1m,z2m,⋯,znm})Z^- = (min\{z_{11}, z_{21}\}, \cdots, z_{n1}\}, min\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{n2}\}, \cdots, min\{z_{1m}, z_{2m}, \cdots, z_{nm}\})Z−=(min{z11,z21},⋯,zn1},min{z12,z22,⋯,zn2},⋯,min{z1m,z2m,⋯,znm})

因此，第i(i=1,2,⋯,n)i(i=1, 2, \cdots, n)i(i=1,2,⋯,n)个评价对象与最大值的距离Di+=∑j=1m(Zj+−zij)2D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}(Z_j^+-z_{ij})^2}Di+=∑j=1m(Zj+−zij)2
第i(i=1,2,⋯,n)i(i=1, 2, \cdots, n)i(i=1,2,⋯,n)个评价对象与最小值的距离Di−=∑j=1m(Zj−−zij)2D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}(Z_j^- - z_{ij})^2}Di−=∑j=1m(Zj−−zij)2
那么，我们可以计算出第 i(i=1,2,⋯,n)i(i=1, 2, \cdots, n)i(i=1,2,⋯,n) 个评价对象未归一化的得分：Si=Di−Di++Di−S_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}Si=Di++Di−Di−，即：Stand_X=[0.17310.42400.32790.0751]Stand\_X=\begin{bmatrix} 0.1731\\ 0.4240\\ 0.3279\\ 0.0751\\ \end{bmatrix}Stand_X=⎣⎢⎢⎡0.17310.42400.32790.0751⎦⎥⎥⎤
因此可以得到最终排序结果为：

姓名	排序
小刚	1
小张	2
小明	3
小李	4

总结：

Topsis优劣距离法的核心在于计算距离z与最小值的距离z与最大值的距离+z与最小值的距离\frac{\text{z与最小值的距离}}{\text{z与最大值的距离+z与最小值的距离}}z与最大值的距离+z与最小值的距离z与最小值的距离
要区别归一化和标准化，前者是对计算结果计算比例，后者是去除量纲的影响。

模型拓展

Topsis模型还可以加入权重，因此可以将上一篇文章中的层次分析法应用于该模型中。只需要在计算距离时乘以权重即可。具体公式为：Di+=∑j=1mωj(Zj+−zij)2Di−=∑j=1mωj(Zj−−zij)2D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}\omega_j(Z_j^+-z_{ij})^2} \\ D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}\omega_j(Z_j^--z_{ij})^2}Di+=j=1∑mωj(Zj+−zij)2Di−=j=1∑mωj(Zj−−zij)2(ωj\omega_jωj为权重)

这就是Topsis优劣距离法的步骤。其中的数据处理可以使用MatlabMatlabMatlab编程计算。如果有什么错误的话，烦请告知~~~

有什么建议也请告诉我哦~~~