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概述

在对汽车结构进行动力学有限元分析时，无论是瞬态问题还是频响问题，都经常使用模态叠加法。

模态叠加法动力学分析是常规模态分析的自然扩展，它利用结构振型来缩减问题求解规模，从而使数值求解更为高效。

模态叠加法首先计算结构的各阶固有频率和振型，然后把有限元节点的位移变换为模态坐标(实旨是各阶模态在总响应中的占比)，从而将动力学方程转化为一系列非耦合的单自由度方程：

ξξ求解这些单自由度方程，得到各阶模态坐标 ξ ，再将各阶模态坐标与其振型相乘叠加，即可得到各节点的位移响应。进而可得到各个部位的应力和应变响应。

大多数情况下我们都是对无约束结构进行分析，所涉及的模态是自由模态。而自由模态又包含刚体自由模态和弹性自由模态。

在模态分析环节，我们有时将模态分解的起始频率设置为0或者负值，这样得到的模态结果中包含了各阶刚体模态，后续利用模态叠加得到的结构响应体现了刚体模态的贡献。有时则将模态分解的起始频率设置为大于0的数值(通常用1.0),令求解器不提取各阶刚体模态，计算得到的结构响应也就忽略了刚体模态的贡献。

常见的白车身原点动刚度(IPI)分析、车身振动传函(VTF)分析、车身噪声传函(NTF)分析、基于时域载荷谱的瞬态动应力分析以及基于频域载荷的随机响应分析，一般都是采用模态叠加法。在这些分析中，刚体模态何时应当考虑，何时应当忽略，目前行业内似乎没有定论。本文将对这一问题进行探讨。

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弹性自由模态的物理意义

弹性自由模态表征的是结构无外界激励和无阻尼条件下的自由振动。弹性自由模态有一个特性几乎未被文献提及，即：结构按某阶弹性自由模态做自由简谐振动时，结构的总动量和总角动量恒定为0。

我未在教科书或文献中找到上述特性的证明过程，所以在本文将做一个比较详细的证明。

一个包含n个节点(3n个自由度)的无约束有限元模型，它的某一阶弹性模态振型矢量为 φ ，对应的固有圆频率为 ω ，结构按该阶模态做自由振动，则其节点速度列阵为

φωω()

其中  和 φ 都是3n阶矢量， φφφφφφφφφφ 。

这n个节点的动量所构成的列阵为

φωω()其中  为结构质量矩阵，节点动量列阵  也是3n阶矢量。

将n个节点的动量相加，就可以得到结构总动量  ，

φωω

φωω

其中  、  和  都是3n阶矢量列阵，跟据其定义可知，它们分别是结构沿X、Y和Z向做刚体平动，平动单位距离后的节点位移列阵。即  、  和  实质是三个刚体平动模态，对应的固有频率为0。

固有频率不同的两个模态矢量关于质量矩阵  必然相互正交，所以，

φφφ()将式(5)代入式(4)，得

()即结构按某阶弹性自由模态做自由简谐振动时，总动量始终为0。

接下来我们来证明，结构按振型 φ 和固有圆频率 ω 为做自由简谐振动时，结构的总角动量始终为0。

式(3)给出了节点动量列阵，我们可以进一步计算出结构绕某固定点的总角动量。

我们首先计算第i节点绕固定点的角动量  ，为3阶矢量。 ()其中  为第i节点到固定点的距离矢量，  为第i节点的动量，均为三阶矢量。

对所有n个节点的角动量矢量求和，即可得到总的角动量  ，也为三阶矢量。

φωω

φωω()上式中 ，  ，  和  都是3n阶矢量列阵，跟据其定义可知，它们分别是结构绕固定点以X、Y和Z方向为轴向旋转所形成的节点位移列阵，即  ，  和  实质是三个刚体转动模态。这三个刚体模态与弹性模态 φ 关于质量矩阵  正交，所以

φφφ()将式(9)代入式(8)，得

()即结构按某阶弹性自由模态做自由振动时，结构总角动量始终为0。

上述结论也可从物理上简证，结构按某阶弹性自由模态做自由振动时，结构上所有的点同时达到最大振幅，此时各点的速度为0，即此时结构总动量和角总动量均为0。结构未受任何外力和外力矩作用，振动过程中结构的总动量和总角动量必然保持恒定。所以振动过程中结构的总动量和总角动量始终为0。

结构的总动量始终为0，意味着结构质心始终保持静止，结构的振动不包含随质心的平动；结构总动量矩始终为0，意味着结构的运动不包含绕质心的整体转动。

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刚体模态的物理意义

一个无约束的空间三维结构，它有六阶相互独立的刚体模态。任一阶刚体模态都是三向随质心平动模态和三向绕质心转动模态的线性组合。

如果结构按照某阶刚体模态  发生位移，则此时结构无弹性变形，不产生应力和应变，外载荷为0，即

()其中  为结构的刚度阵。

我们进行模态分析，实质是求解广义特征值问题，

ω比较公式(11)和(12)，可知当 ω 为0时，刚体模态  能够使公式(12)成立。所以刚体模态的固有频率为0。实际有限元分析中，因为运算误差，计算出的刚体模态固有频率并非绝对为0，但必定是非常接近0的一个数值。

刚体模态表征的是无约束结构的刚体位移。在基于模态叠加法的动力学分析中，刚体模态和弹性模态有明确分工。弹性模态用来描述是结构相对于质心的变形，质心位移始终为0，结构也不发生绕质心的总体转动。而刚体模态用来描述结构随质心的平动和绕质心的转动，结构只有刚体移动但无弹性变形。

各阶刚体模态叠加所体现的刚体运动由外载荷合力和合力矩、结构总质量和总转动惯量决定，与载荷的分布形式、结构具体质量分布无关。

按照以上分工，我们就可针对具体问题来讨论分析中应当保留还是忽略刚体模态。

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关于车身VTF分析

车身振动传函分析，即车身VTF分析，主要用于校核车身关键板件的刚度是否合乎要求。车身VTF分析在动力总成悬置点或者悬架接附点施加单位简谐力，考察关键壁板处的响应，如前后座椅导轨安装点、前壁板踏板安装点、乘员脚部位置等，如图1。

图1 座椅导轨安装点为VTF分析的响应点

车身VTF分析的目的是控制关键板件在接附点激励下的变形，所以只需要考虑各阶弹性模态，忽略掉那些不含弹性变形的刚体模态。因此我们应该将模态分解的起始频率设置为1.0。

TB车身VTF分析，有时还用来考察内饰板卡扣及IP部件卡扣连接点的速度响应，为内饰件异响控制提供参考，如图2。

图2 仪表板卡扣连接点作为响应点

卡扣异响是来源于卡扣所连接的两个部件之间的相对运动。刚体模态所描述的运动中，部件之间没有任何相对变形和相对运动，不可能产生摩擦和接触，所以不会产生异响。因此用于卡扣异响控制的VTF分析也应该忽略刚体模态。

车身的振动传函可用试验方法测得，试验测试通常不会刻意去除刚体模态的影响，所以试验结果包含了刚体模态的贡献。如果我们要将仿真结果与试验结果对标，在仿真分析中应该考虑刚体模态，此时模态分解的下限应设置为0。

实际上，因为TB车身的总质量和总转动惯量都很大，在简谐激励下，刚体模态的贡献在结构响应中所占的比例非常小。对TB车身而言，模态分解的起始点设置成0或者1.0，对结果影响并不大，但对于一些质量和惯量较小的部件，刚体模态对结构响应的影响就无法忽略。

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关于车身NTF分析

车身噪声传函分析，即车身NTF分析，不仅需要内饰车身的结构网格，还需要如图3所示的舱内声腔网格，并且要在二者之间建立耦合关系。NTF分析也是在动力总成悬置点或者悬架接附点施加单位简谐激励，考察关键位置的声压响应，响应点一般是驾驶员或乘员的耳部位置。

结构和声腔的交界面上有以下耦合关系：

图3 NTF分析所需的声腔网格

ρ()其中， ρ 为空气密度，  为结构单元的法向振动加速度。

根据上式可知，无论车身结构是否发生弹性变形，只要结构单元有法向加速度，就将对声腔产生激励，从而在响应点处产生声压。

也就是说，车身的刚体运动虽然不产生弹性变形和应力应变，但能使结构-声腔交界面产生法向加速度，所以仍能导致声压响应。

如果车身结构发生了设计变更，只要车身的质量和惯量无变化，则车身的刚体运动不会发生改变。但车身结构的改变有可能导致交界面的几何和声腔本身几何发生变化，车身刚体运动所导致的声压响应也会发生变化。

总之，车身刚体运动能够导致声压响应，而且还能部分体现结构几何变更对声压响应的影响。所以我们在进行车身NTF分析时，不应忽略结构刚体模态，结构模态分解的起始频率应设置为0。

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关于IPI分析

源点动刚度分析，又叫IPI分析，是在结构的接附点沿某个方向施加单位简谐力，然后考察接附点在该方向的位移或者加速度幅值，通常也是采用模态叠加法。

IPI分析所考察的接附点是结构与其他部件发生柔性连接的点。柔性连接处的刚度远低于两侧的结构，所以两侧结构振动的传递在此处中断。这就意味着我们认为结构在接附点处不受位移约束，仅受外载荷激励。

IPI分析常用于车身，有时也用于副车架和悬架部件。

白车身IPI分析主要是考察接附点在激励力方向的位移幅值，控制住了位移幅值，就相当于控制住了一个周期内激励能量输入的上限。位移幅值既包含弹性变形的贡献，也包含刚体运动的贡献，所以在模态分解时应当考虑刚体模态。

白车身IPI分析虽然叫动刚度分析，但它的最终目的不是控制结构刚度，而是控制噪声传函。白车身IPI分析实质是车身NTF分析的前奏(对于乘用车，一般要求车身与底盘的接附点达到0.01Pa/N的NTF,经验表明，为实现这个NTF目标，接附点主方向动刚度达到10000N/mm是比较稳妥的)。前面已经讨论过,车身的刚体运动会影响NTF结果，从这个角度考虑，我们在车身IPI分析中考虑刚体模态是合理的。

对于副车架，按道理应该将其装到车身模型上，再进行IPI分析。但是在研发的初期，一般不会有成熟的车身模型可用，副车架与车身的连接衬套刚度也不易确定，所以仍需要对自由状态的副车架做IPI分析。

副车架IPI分析与白车身IPI分析有所不同。副车架刚度很大，不易发生弹性变形，且副车架的质量和转动惯量都远小于白车身，所以在单位简谐激励下，无约束副车架的响应中有相当大比例为刚体运动。但是，副车架在装车状态会受到车身约束，实际工作过程并没有多少刚体运动。

对单独副车架做IPI分析，主要目的是考察副车架本体在动载荷作用下抵抗变形的能力。如果我们在分析中考虑了刚体模态，则接附点的响应中刚体运动将占据很大一部分，有可能掩盖了弹性变形的贡献，使我们得到错误的结论。

下面我们用一个算例来说明。一个如图4所示的副车架，对于某一接附点的Z方向做IPI分析，模态分解起始频率设为0。然后我们改变副车架的状态，将刚度提升10%，质量减少30%(通过弹性模量提升10%、材料密度减少30%来实现)，按同样设置做IPI分析。对于原状态和新状态分别得到位移幅值随频率的曲线，如图5。

图4 副车架模型

图5 考虑刚体模态的副车架IPI结果(模态分解起始频率为0)

新状态提升了副车架刚度，增加了抵抗变形能力，且实现了轻量化，按道理是明显优于原状态的。但是由于新状态质量和惯量减少，刚体运动幅度大于原状态，所以在中低频段新状态的位移幅值大于原状态。根据图5中的曲线结果，新状态在50-200Hz频段上的平均动刚度明显低于原状态，我们无法判定新状态具有优势，反而会得出新状态不如原状态的结论。

将模态分解的起始频率设置为5.0，忽略掉刚体模态的影响，只考虑副车架的弹性变形，分别得到原状态和新状态的IPI曲线，如图6所示。因为新状态的结构刚度大，剔除了刚体运动后，新状态的接附点位移幅值在大部分频段都明显低于原状态。根据图6的结果，我们可以确认新状态的平均动刚度更高，相比原状态有优势。

图6 不考虑刚体模态的副车架IPI结果(模态分解起始频率为5)

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结语

在基于模态叠加法的动力学分析中，刚体模态和弹性模态有明确分工。弹性模态用来描述是结构相对于质心的变形，质心位移始终为0，结构也不发生绕质心的总体转动。而刚体模态用来描述结构随质心的平动和绕质心的转动，结构只有刚体移动但无弹性变形。按照这个分工，我们就可针对具体问题来确定应当保留还是忽略刚体模态。

车身VTF分析用来控制关键板件在接附点激励下的弹性变形，或者是控制卡扣所连接的部件之间的相对运动。而刚体模态不体现弹性变形和部件相对运动。所以车身VTF分析应当忽略刚体模态。

在车身NTF分析中，车身结构刚体运动能够导致声压响应，而且还能部分体现车身结构几何变化对声压响应的影响。所以在进行车身NTF分析时，应当考虑车身刚体模态。

白车身IPI分析主要是考察接附点在激励力方向的位移幅值，以控制噪声能量输入。位移幅值既包含弹性变形的贡献，也包含刚体运动的贡献，所以我们在模态分解时应当考虑刚体模态。

对单独副车架做IPI分析，主要目的是考察副车架在动载荷作用下抵抗变形的能力。在接附点的响应中，副车架的刚体运动占据了很大一部分，有可能掩盖了弹性变形的贡献。因此对于单独副车架的IPI分析，应当忽略刚体模态。

作者简介

王朋波，清华大学力学博士，汽车结构CAE分析专家。重庆市科协成员、《计算机辅助工程》期刊审稿人、交通运输部项目评审专家。专业领域为整车疲劳耐久/NVH/碰撞安全性能开发与仿真计算，车体结构优化与轻量化，CAE分析流程自动化等。王朋波私人微信：poplewang。

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