POJ 1845 Sumdiv 【逆元】

题意：求A^B的所有因子之和

很容易知道，先把分解得到，那么得到，那么

的所有因子和的表达式如下

第一种做法是分治求等比数列的和

用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：
1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
= (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:
1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
= (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

其他用到的知识是素数筛选以及快速幂，本博客都有相应知识或者百度也行

#include<stdio.h>
#include<string.h>
typedef long long ll;
const int mod=9901;
const int N=1e5+11;
int p[N],pr[N],cnt;
void init(){for(int i=2;i<N;i++){if(!p[i])    pr[++cnt]=i;for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<N;j++){p[i*pr[j]]=1;if(i%pr[j]==0)    break;}}
}
ll pow_m(ll a,ll b,ll m){ll ans=1;a%=m;while(b){if(b&1)ans=(ans*a)%m;a=(a*a)%m;b>>=1;}return ans;
}
ll sum(ll p,ll n){if(!n)    return 1;if(n&1){return (sum(p,n/2)*(1+pow_m(p,n/2+1,mod)))%mod;}else{return (sum(p,n/2-1)*(1+pow_m(p,n/2+1,mod))+pow_m(p,n/2,mod))%mod;}
}
int main(){ll a,b;init();while(~scanf("%lld%lld",&a,&b)){ll ans=1;for(int i=1;i<=cnt&&pr[i]*pr[i]<=a;i++){if(a%pr[i]==0){int num=0;while(a%pr[i]==0){num++;a/=pr[i];}ans=(ans*sum(pr[i],num*b))%mod;}}if(a>1){ans=(ans*sum(a,b))%mod;}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

第二种方法就是用等比数列求和公式，但是要用逆元。用如下公式即可(已知a|b)

我们来证明它，已知，证明步骤如下

在快速幂时的乘法会爆longlong，所以用快速乘

#include<stdio.h>
#include<string.h>
typedef long long ll;
const int mod=9901;
const int N=1e5+11;
int p[N],pr[N],cnt;
void init(){for(int i=2;i<N;i++){if(!p[i])    pr[++cnt]=i;for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<N;j++){p[i*pr[j]]=1;if(i%pr[j]==0)    break;}}
}
ll mul(ll a,ll b,ll m){ll ans=0;a%=m;while(b){if(b&1)ans=(ans+a)%m;a=(a+a)%m;b>>=1;}return ans;
}
ll pow_m(ll a,ll b,ll m){ll ans=1;a%=m;while(b){if(b&1)ans=mul(ans,a,m);a=mul(a,a,m);b>>=1;}return ans;
}
int main(){ll a,b;init();while(~scanf("%lld%lld",&a,&b)){ll ans=1;for(int i=1;i<=cnt&&pr[i]*pr[i]<=a;i++){if(a%pr[i]==0){int num=0;while(a%pr[i]==0){num++;a/=pr[i];}ll M=(pr[i]-1)*mod;ans*=(pow_m(pr[i],num*b+1,M)+M-1)/(pr[i]-1);ans%=mod;}}if(a>1){ll M=(a-1)*mod;ans*=(pow_m(a,b+1,M)+M-1)/(a-1);ans%=mod;}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6648539

http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787

转载于:https://www.cnblogs.com/L-King/p/5723108.html

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