POJ 1845 逆元 / 分治

题意

传送门 POJ 1845

题解

分解质因数 A=p1e1p2e2…pnenA=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\dots p_n^{e_n}A=p1e1p2e2…pnen，则约数和为
(1+p1+⋯+p1e1)(1+p2+⋯+p2e2)…(1+pn+⋯+pnen)(1+p_1+\dots +p_1^{e_1})(1+p_2+\dots +p_2^{e_2})\dots (1+p_n+\dots +p_n^{e_n})(1+p1+⋯+p1e1)(1+p2+⋯+p2e2)…(1+pn+⋯+pnen)

逆元

对于质因数 pip_ipi，根据等比数列求和公式，括号内求和为 pieiB+1−1pi−1\frac{p_i^{e_iB+1}-1}{p_i-1}pi−1pieiB+1−1 分子项快速幂求解，分母项逆元求解。对于 pimodm=1p_i\ mod\ m =1pi mod m=1 的情况需要特殊处理，因为此时 pi−1p_i-1pi−1 不存在逆元。对于正整数 NNN，至多有一个大于等于 N\sqrt NN 的质因子，那么逆元打表处理 [1,N][1,\sqrt N][1,N] 的部分，对于超出这个范围的部分，利用费马小定理进行快速幂求逆元。

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
using namespace std;
#define mod 9901
typedef map<int, int> mp;
int A, B, inv[mod];mp prime_factor(int n)
{mp res;for (int i = 2; i * i <= n; ++i){while (n % i == 0){++res[i];n /= i;}}if (n != 1)res[n] = 1;return res;
}int mod_pow(int x, int n)
{int res = 1;x %= mod;while (n){if (n & 1)res = res * x % mod;x = x * x % mod;n >>= 1;}return res;
}int get_inv(int n)
{if (n < mod)return inv[n];return mod_pow(n, mod - 2);
}int main()
{inv[1] = 1;for (int i = 2; i < mod; ++i)inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;scanf("%d%d", &A, &B);mp fac = prime_factor(A);int res = 1;for (mp::iterator it = fac.begin(); it != fac.end(); ++it){int p = it->first, e = it->second * B;if (p % mod != 1)res = res * (mod_pow(p, e + 1) + mod - 1) % mod * get_inv(p - 1) % mod;elseres = res * (e % mod + 1) % mod;}printf("%d\n", res);return 0;
}

分治

考虑质因数 pip_ipi，若 eie_iei 为奇数，设其括号内求和为 sum(p,e)sum(p,e)sum(p,e)，则有
sum(p,e)=(1+p+⋯+p⌊e/2⌋)+(p⌊e/2⌋+1+⋯+pe)=(1+p⌊e/2⌋+1)×sum(p,⌊e/2⌋)sum(p,e)=(1+p+\dots+p^{\lfloor e/2\rfloor})+(p^{\lfloor e/2\rfloor+1}+\dots +p^e)=(1+p^{\lfloor e/2\rfloor+1})\times sum(p,\lfloor e/2\rfloor)sum(p,e)=(1+p+⋯+p⌊e/2⌋)+(p⌊e/2⌋+1+⋯+pe)=(1+p⌊e/2⌋+1)×sum(p,⌊e/2⌋) 指数为偶数，将 pieip_i^{e_i}piei 加入答案后将 eie_iei 减一处理为奇数情况即可。

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
using namespace std;
#define mod 9901
typedef map<int, int> mp;
int A, B;mp prime_factor(int n)
{mp res;for (int i = 2; i * i <= n; ++i){while (n % i == 0){++res[i];n /= i;}}if (n != 1)res[n] = 1;return res;
}int mod_pow(int x, int n)
{int res = 1;x %= mod;while (n){if (n & 1)res = res * x % mod;x = x * x % mod;n >>= 1;}return res;
}int sum(int p, int e)
{if (!e)return 1;int res = 0;if (!(e & 1))res += mod_pow(p, e), --e;e /= 2, res += (1 + mod_pow(p, e + 1)) * sum(p, e);return res % mod;
}int main()
{scanf("%d%d", &A, &B);mp fac = prime_factor(A);int res = 1;for (mp::iterator it = fac.begin(); it != fac.end(); ++it){int p = it->first, e = it->second * B;res = res * sum(p, e) % mod;}printf("%d\n", res);return 0;
}

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