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弱化版：如果不考虑翻面，那就是转化为若干个环的问题了。

这里我们尝试用同样的思路解决。

首先明确几个硬币一次交换后的等价情况，如图（灰色表示反面）

（u→vu\rightarrow vu→v 箭头的意思是硬币 uuu 的下标应该在硬币 vvv 所在位置）

case1 单独考虑每个环。初始零状态，随便选择一个硬币作切入点，破环。

大小为 xxx 的环，经过 x−1x-1x−1 次操作就可以变到其该在的位置，但是最后会有两个硬币是反面的。

显然，不可能两步就做到将硬币再翻面且位置正确。

假设是 (aˉ,bˉ,c)(\bar{a},\bar{b},c)(aˉ,bˉ,c) 这样情况的三枚硬币（括号强调顺序，三个硬币的位置都是对的，但 a,ba,ba,b 目前是反面朝上）。

(aˉ,bˉ,c)→(b,a,c)→(b,cˉ,aˉ)→(a,cˉ,bˉ)→(a,b,c)(\bar{a},\bar{b},c)\rightarrow (b,a,c)\rightarrow (b,\bar{c},\bar{a})\rightarrow (a,\bar{c},\bar{b})\rightarrow(a,b,c)(aˉ,bˉ,c)→(b,a,c)→(b,cˉ,aˉ)→(a,cˉ,bˉ)→(a,b,c)，一共操作 444 次。符合要求。

由三元环的启示，我们不妨倒退一个状态，让三枚硬币都还未处于正确的状态（只要反面或位置不对都不算正确状态）。

则此时理应用了 x−2x-2x−2 次操作，状态应是一枚反面正确位置，一枚正面错误位置，一枚反面错误位置。

接着，(aˉ,c,bˉ)→(cˉ,a,bˉ)→(cˉ,b,aˉ)→(a,b,c)(\bar{a},c,\bar{b})\rightarrow (\bar{c},a,\bar{b})\rightarrow (\bar{c},b,\bar{a})\rightarrow (a,b,c)(aˉ,c,bˉ)→(cˉ,a,bˉ)→(cˉ,b,aˉ)→(a,b,c)，只用三步即可。

这样就做到了一个 xxx 的环 x+1x+1x+1 次操作。

case2 但这仅仅是一个环，如果原题中有若干个环，额外次数却只有 111，还是不能通过。

事实上，单环的关键就在于每次有且仅有两枚反面朝上的硬币。

我们完全可以将两个环，任意交换一对硬币，从而是两环联通为一环。

这样花费是 111，同样直接进入单环问题的第一个状态（即初始有两个反面朝上的硬币）。

换言之，两个环 x1,x2x_1,x_2x1,x2，只用 x1+x2+1−1x_1+x_2+1-1x1+x2+1−1 步操作便可。

因此，可以两两环合并后再操作，就不会产生额外的 111。

如果有奇数个环，那么将最后一个环和第一个自环匹配一下，做个工具环即可。

这也是 m+1m+1m+1 的上限来源。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 200005
vector < pair < int, int > > ans;
int n, cnt;
int c[maxn], p[maxn];
bool vis[maxn];void Swap( int x, int y ) {swap( c[x], c[y] );ans.push_back( make_pair( x, y ) );
}void work( int x, int y ) {Swap( x, y );while( c[x] ^ y ) Swap( x, c[x] );while( c[y] ^ x ) Swap( y, c[y] );Swap( x, y );
}int main() {scanf( "%d", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &c[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( ! vis[i] ) {p[++ cnt] = i;for( int k = i;! vis[k];k = c[k] ) vis[k] = 1;}if( cnt == 1 ) {int x = p[1], y = c[x];Swap( x, y );while( c[c[x]] ^ x ) Swap( x, c[x] );int z = c[x];Swap( y, z );Swap( x, z );Swap( x, y );}else {for( int i = 1;i + 1 <= cnt;i += 2 ) work( p[i], p[i + 1] );if( cnt & 1 ) work( p[1], p[cnt] );}printf( "%d\n", ans.size() );for( int i = 0;i < ans.size();i ++ ) printf( "%d %d\n", ans[i].first, ans[i].second );return 0;
}

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CodeForces 1491G Switch and Flip（结论）

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