- 动规讲解基础讲解一——01背包（模板）

作为动态规划的基础，01背包的思想在许多动规问题中会经常出现，so,熟练的掌握01背包的思路是极其重要的；

　　有n件物品，第i件物品(I = 1,2,3…n)的价值是vi, 重量是wi,我们有一个能承重为m的背包，我们选择一些物品放入背包，显然放入背包的总重量不超过m。我们要求选择物品的总价值最大，请问如何选择？这里我们假设所有出现的数都是正整数。

第一想法是？

（1）枚举？万能的枚举啊。但对于n件物品，每件都可以选择取或者不取，总的可能性有2n, n = 30就大约已经有10亿种可能了！枚举所有可能选择一种不超过背包承重并且价值最大的物品组合，枚举量太大了。

（2）贪心？嗯，有点意思。先选最贵重的物品？找个反例：

n = 3, m = 3
v = （2，2，3）
w = （1，2，3）

按照先选贵重物品的策略，会先选择价值为3的那个，并且背包装满了，但是如果我们选取前两个物品，总价值可以达到4。
可能你已经想到了，考虑“性价比”，先选取“性价比”高的。性价比怎么定义呢？用价值除以重量！先选取单位重量价值最大的物品试试？

再举个例子：

n = 3, m = 7
v = （2，3，4）
w = （3，4，5）

按我们的方法因为2/3 < 3/4 < 4 / 5，我们先选择第三件物品，但是选了它之后别的东西放不下了！总价值是4，但如果我们选择前两件物品可以拿到总价值5。可见这两种贪心法是不行的。如果你有别的贪心策略，也可以试试，万一成功了呢？

（3）试试动态规划？

我们从1-n一件一件选择物品，为什么要记录之前选择了哪些物品呢？因为我们要计算重量和价值，那我们能不能只记录重量和价值呢？可以的。

令f(i，j)表示选决定了前i件物品，重量恰好为j的时候能获得的最大价值。
假设我们已经知道了全部的f(i-1，*)的值，如何求f(i，*)，换句话说我们有了状态表示还不够，如何求出递推式？

对f(i,j)如果我们不选取第i件物品，则显然f(i, j) = f(i – 1,j)
如果我们要选取第i件物品，那么前i – 1件物品必须要达到j - wi且价值最大。由我们对f的定义，有f(i,j) = f(i-1,j - wi) + vi, 那么我们究竟选不选第i件物品呢？只好看哪个大了值大了，所以由

f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - wi) + vi)

当然只有j>= wi的时候我们才有选择第i件物品的权力。
那么初值是什么呢？f(0,*)，一件物品也不选的时候，显然重量只能是0，其他的重量都不存在，我们用负无穷来表示不可能，因为求的是最大价值嘛。
那么，我们整理一下我们的递推式子和初值：

{0(i=0∩j=0)

f(i,j)= {-∞(i=0∩j>0)

　　 {f(i-1,j)(i>0∪j<w)

　　 {max(f(i-1,j),f(i-1,j-wi)+vi)(i>0∩j>wi)

那么我们求的值是什么呢？回想f的定义，最终的答案是背包要装的物品价值最大。那么答案应该是max{f[n][i]} (0<=i<=n) 注意这里i可以等于0——如果背包一件物品都容纳不了呢？

至此我们的问题得到了解答。分析下复杂度，我们的f第一维显然只能

到n，第二维能到多大呢？最大也就是背包的容量，再大没意义，全是-∞了。那么我们的空尽复杂度是O(n * m),我们求这些值的时候，每个值最多只从之前求的两个值比较得到结果，所以时间复杂度也是O(n * m)。前面提到的枚举算法时间复杂度是O(2^n),虽然我们不能得出动态规划算法更快的结论，但通常认为m不太大。

回到老问题，我们如何得到具体选出哪些物品？惯用伎俩了，看f(i,j)到底是由f(i-1,j)得到的，还是由, f(i-1,j - wi) + vi得到的，从最终结果倒推回去，得到一个最优解。

优化？我们看一下这个递推式子核心就是f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - w_i) + v_i), 看一下f(i,*)只与f(i-1,*)相关，再仔细看看我们的第维j，只和更小的值相关，我们可以省掉一维i，然后倒着循环j,用旧的值更新新的值，这时f一部分是旧的值f(i-1,*)，一部分是新的值f(i,*)。更具体地说小于j地是旧值，其余是新值。

核心伪代码：

f(0) = 0
f(1..m) = -∞
for i = 1 to n dofor j = m downto wi dof(j) = max(f(j), f(j - wi))endfor
endfor

所求结果是max{f(0..m)}

注意我们循环j只到w_i，因为再小的j会导致我们无法选择第i件物品，这时我们直接使用不用第i件物品的旧值就好啦。简单吧？

那么现在，时间复杂度时不变的，空间复杂度降低O(m)了。

们尝试换一种状态表示？我们令f(i,j)表示决定了前i件物品，总重量不超过j时能获得的最大价值。仔细想想递推式是不变的，那么初值呢？如果初值不变，f就没变化了……i＝ 0时，总重量时0，又因为0不超过任何整数，所以根据定义初值是f(0,*) = 0
那么最终结果呢？根据定义，最终结果是f(n,m)而没有必要再一串数里取最大了。可见即使递推式相同，初值不同也会定义不同的函数，请不要忽略初值的作用啊。同样我们可以优化掉第一维。

核心伪代码：

初值f(0..m) = 0
for i = 1 to n dofor j = m downto wi dof(j) = max(f(j), f(j - wi))endfor
endfor

所求结果是f(m)

再换一种状态表示？刚才讲了，我们有重量和价值两个指标，那么我们令f(i,j)是决定了前i件物品，总价值恰好是j时的最小重量，那么经过类似的分析，我们可以写出这样的初值和递推式：

{0(i=0∩j=0)
f(i,j)= {∞(i=0∩j>0)

{f(i−1,j)(i>0∪j<vi)

{max(f(i−1,j),f(i−1,j−wi)+vi)(i>0∪j>vi)

那结果是什么呢？
根据定义结果是max{x| f(n, x) <= m}, 同样我们可以优化掉一维的空间复杂度。那么时间复杂度是什么呢？ O(n * sum(vi)) sum(vi)表示所有vi的和，也是第二维有意义的大小。

同样我们也可以重新定义状态为f(i,j)是决定了前i件物品，总价值不超过j时的最小重量，则递推式不变，初值
f(0,1.. sum(vi))) = 0

最终的结果也一样……还是要找到max{x| f(n, x) <= m}。
可见，动态规划问题状态表示十分灵活，不同的状态表示会有不同的解决方法。努力取发现吧！

例题

输入

第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的数量，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 10000)
第2 - N + 1行，每行2个整数，Wi和Pi，分别是物品的体积和物品的价值。(1 <= Wi, Pi <= 10000)

输出

输出可以容纳的最大价值。

输入示例

输出示例

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,w[10000],d[10000],m,f[13000];
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)    cin>>w[i]>>d[i];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=m;j>=w[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+d[i]);cout<<f[m];
}

如果对你有所帮助，别忘了加好评哦；么么哒！！下次见！88

转载于:https://www.cnblogs.com/cangT-Tlan/p/6217934.html

- 动规讲解基础讲解一——01背包（模板）相关推荐

01背包模板、完全背包 and 多重背包
转载请注明出处:http://blog.csdn.net/u012860063 讲解链接:http://www.cppblog.com/tanky-woo/archive/2010/07/31/121 ...
01背包模板、全然背包 and 多重背包（模板）
转载请注明出处:http://blog.csdn.net/u012860063 贴一个自觉得解说不错的链接:http://www.cppblog.com/tanky-woo/archive/2010/ ...
【NOIP2006】【Luogu1060】开心的金明（01背包模板）
problem 有n个物品,价格为wi, 重要度为vi. 在代价不超过m的情况下,最大化wi*vi的值 n < 30, m < 3e4 solution Qwq,Wi*Vi是确定的. 所以 ...
- 动规讲解基础讲解八——正整数分组
将一堆正整数分为2组,要求2组的和相差最小. 例如:1 2 3 4 5,将1 2 4分为1组,3 5分为1组,两组和相差1,是所有方案中相差最少的. 整数个数n<=100,所有整数的和<= ...
01背包模板1 2 总结
物品质量 w[0] w[1] w[2] ....... w[n] 背包容量c T 物品价值 v[0] v[1] v[2] ...... ...
AcWing 2. 01背包问题（01背包模板）
题目链接 https://www.acwing.com/problem/content/2/ 思路对于每一个物品我们能做一个选择,选上它(前提是当前的剩余背包容量够),或者不选,那么我们只需要在这其 ...
hdu2602 骨头收集者 01背包模板题
Bone Collector Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) T ...
01背包和完全背包的完整讲解版包含一维数组实现和二维数组实现题目
(二)01背包和完全背包的完整讲解版包含一维数组实现和二维数组实现题目 //有N件物品和一个容量为V的背包.第i件物品的体积是c[i],价值是w[i].求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大. ...
背包问题基础模型深度总结-文长慎入（01背包，完全背包，多重背包）
先等一下,字多预警,密集恐惧症慎入,喂,你,就是你,小板凳搬好了吗,站久了可是会腿酸的无节操地王婆卖瓜一下, 本文深度好文目录先扯两句 0-1背包其它类似的状态定义 1 2 小结 3 记忆 ...
动态规划之背包问题——01背包
算法相关数据结构总结: 序号数据结构文章 1 动态规划动态规划之背包问题--01背包动态规划之背包问题--完全背包动态规划之打家劫舍系列问题动态规划之股票买卖系列问题动态规划之子序列问题 ...

- 动规讲解基础讲解一——01背包（模板）

- 动规讲解基础讲解一——01背包（模板）相关推荐

最新文章

热门文章